易知
1
1∞
∞
∞
∑
x
1
∞

1
的收敛域为11，记
S1x∑
x
1
1
295
f则∫0S1x∑x
x
1
∞
x1x
′1x3于是S1xx，所以Sxx121x21x1x
2
42
122由limx2
2x知，原级数当x1时收敛，而当x1时，原
→∞
2
3x
级数发散，故原级数的收敛域为11，记Sx∑易知级数
∞∞
∞x2
2x2
1x∑，
02
1
02
1∞
∞x2
1x2
1收敛域为11，记S1x∑，则∑2
1
0
02
1
S1′x∑x2

0
1，1x2
故
11xl
21xx1xSxxS1xl
21x
∫
x
0
S1′xdx
即S1xS10l

12
1x，S100，所以1x
x
1
13．将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：1fxl
2x；3fx1xl
1x；5fx
x；3x2
2fxcos2x；4fx
12x21x2
；
6fxexex；8fx
1
7fxexcosx；
2x2
．
解：1fxl
2xl
21xl
2l
1x
22
由于l
1x∑1

0
∞
x
，1x≤1
1
故l
1x∑1
2
0
∞
x
1，2≤x≤2
12
1
296
f因此l
2xl
2∑1

0
∞
x
1，2≤x≤2
12
1
2fxcos2x
∞

1cos2x2
x2
由cosx∑1，∞x∞2
0
∞∞4
x2
得cos2x∑1
2x∑1
2

0
2

0
2

所以
fxcos2x11cos2x2211∞4
x2
∑1
，∞x∞22
02

3fx1xl
1x由l
1x∑1

0∞
x
1

1
，1≤x≤1
所以
fx1x∑1

0∞
x
1
1
∑1

0∞
∞
x
1∞x
2∑1
1
0
1x
1∞x
1∑1
1
1
1

x∑1

1∞
x∑
1
1
1
1
1x
1
1
∞
1
1x∑1x
1
1
1≤x≤1
11x2
4fx由于
11x2
x21x
2
x2
∞
1∑1

1
2
12
x2

1≤x≤1
297
f∞故fxx21∑1
2
1x2


1
2


x2∑1

1
∞
2
12
1x2

1≤x≤1
5fx
x3
1x213

x∞x2∑1
3
03∑1

0∞
x2
13
1
x3
6由ex∑
0x∞
∞
x
，x∈∞∞

1
x
得e∑，x∈∞∞
0
所以fxexer