Nε0，使得当
N时，
1
∞
x∈Ⅰ有V
1xV
2x…V
pxε，于是，ε0，Nε0，使得当
N时，x∈Ⅰ有U
1xU
2x…U
px≤V
1xV
2x…V
pxV
1xV
2x…V
pxε，因此，级数∑U
x在区间Ⅰ上处处收敛，由x的任意性和与x的无关
1∞
≤
293
f性，可知∑U
x在Ⅰ上一致收敛．
1
∞
11．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：1x2x3∑
∞
233…
x

x
…；2
x∑
；
1

∞


x2
1；
12
1
∞4∑x21；
1

2

解：1因为ρlim
→∞
a
1
11lim1，所以收敛半径R1收敛区间
→∞
a
ρ
∞
为11，而当x±1时，级数变为∑1
，由lim1
≠0知级数x→

1
∑1
1
∞


发散，所以级数的收敛域为11．
1

a
2因为ρlim
1lim
1
1lim
lim11e1
→∞
→∞a
→∞
→∞
1
1

所以收敛半径R
1
ρ
e，收敛区间为ee．
∞
1
e
xee，当xe时，级数变为∑
；应用洛必达法则求得lim1xx→0x2
1

故有lim
→∞
a
1111由拉阿伯判别法知，级数发散；易知xe时，2a

级数也发散，故收敛域为ee．3级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．
limU
1x2
12
1lim
→∞U
→∞2
1x2
1
limx2
→∞
2
12x2
1
所以当x21即x1时，级数收敛，x21即x1时，级数发散，故
294
f收敛半径R1．当x1时，级数变为∑
1，当
12
1
∞
x1时，级数变为∑
1，由
12
1
∞
1∞∞111lim2
10知，∑发散，从而∑也发散，故原级数的收
→∞12
12
1
12
1

敛域为11．4令
tx1，则级数变为
t
∑
22
1
∞
，
因
为
a
1
22
ρlimlim12
→∞a
→∞
12
1

所以收敛半径为R1．收敛区间为1x11即0x2当t1时，级数∑
∞11收敛，t1时，当级数∑1
为交错级数，32
3
1
12
∞
由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为0≤x≤2，即0212．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：1∑
x
2；
1∞
2
x2
2∑2
1；
0
∞

3解：1由lim
1
xx知，当x1时，原级数收敛，而当x12
→∞

x
时，∑
x
2的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为11．
1
∞
记
Sx∑
x
2x3∑
x
1r