收敛，所以原级数绝对收敛．
1
∞
4因为lim
→∞
U
122
1lim∞．
→∞
1U

故可得U
1U
，得limU
≠0，
→∞∴limU
≠0，原级数发散．
→∞5当α1时，由级数∑
1收敛得原级数绝对收敛．α
1
∞∞
当0α≤1时，交错级数∑1
1
1
1111满足条件：α；limα0，αα
→∞

1
∞∞1由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时∑1
11∑α发散，所以α
1


1


原级数条件收敛．当α≤0时，limU
≠0，所以原级数发散．
→∞6由于111L1
231
1
1
∞
1

而∑发散，由此较审敛法知级数
1∑111L1
发散．23
1
∞

1记U
111L1，则

2
3


291
f111111U
U
11L2

1
123111111L2

1
123111111L2

1
1
1230
即U
U
1
1又limU
lim111L1
→∞
→∞
21
1∫dx
0x3

111由tlim∫0dxtlimt0→∞t→∞1x
t
∞知limU
0，由莱布尼茨判别法，原级数∑111L11收敛，
→∞
1

2
3



而且是条件收敛．9．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性．
x
1∑，x∈33；2∑2，x∈01；
1
1
1
∞
x

∞
35
si
x∑3
，x∈∞∞；4
1
∞
e
x∑
，x5；
1
∞
∑
1
∞
cos
x
3

5x2
x

，x∈∞∞
≤3

解：1∵

1

1
∞
，x∈33，
3

而由比值审敛法可知∑
1
12∵x2≤2，x∈01，

1
收敛，所以原级数在33上一致收敛．



292
f而∑
1收敛，所以原级数在01上一致收敛．2
1

∞
13∵si

x≤
，x∈∞∞，33
而∑
1是收敛的等比级数，所以原级数在∞∞上一致收敛．
13
∞

xe5
4因为e≤，x∈55，



由比值审敛法可知∑5∵而∑
1∞
e5
收敛，故原级数在55上一致收敛．
1

∞
cos
x
3

x
5
2
≤
1
53
，x∈∞∞，
1
53
是收敛的P级数，所以原级数在∞∞上一致收敛．
∞
10．若在区间Ⅰ上，对任何自然数
．都有U
x≤V
x，则当∑V
x
1
在Ⅰ上一致收敛时，级数∑U
x在这区间Ⅰ上也一致收敛．
1
∞
证：由∑V
x在Ⅰ上一致收敛知，ε0，r