2005年上海市高中数学竞赛（CASIO杯）试卷
（2005年3月27日星期日上午8：30～10：30）题号得分评卷复核【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分）1．计算：iiii
012100
一
二
三
四
五
总分

．i表示虚数单位）（
2．设是某三角形的最大内角，且满足si
8si
2，则可能值构成的集合是．（用列举法表示）3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则x表示的复数是．A
E
x
i1
C
BFD
F若CD4．如图，正四面体ABCD的棱长为6cm，在棱AB、上各有一点E、，AE1cm，CF2cm，则线段EF的长为cm．
5．若关于x的方程4a3250至少有一个实根在区间12内，则实数a的取值
xx
范围为
．
6．a、b、c、d、e是从集合12345中任取的5个元素（允许重复），则abcde为奇数的概率为．
7．对任意实数x、y，函数fx满足fxfyfxyxy1，若f11，则对负整数
，f
的表达式．
2
2
22228．实数x、y、z满足xyz0，且xyz1，记m为x、y、z中最大者，
则m的最小值为
．
1
f二、（本题满分14分）9．设fx
ax2bx，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正数b，使fx的
定义域和值域相同．
三、（本题满分14分）10已知双曲线
x2y221（a、bR）的半焦距为c，且b2ac．PQ是双曲线上2ab
任意两点，M为PQ的中点，当PQ与OM的斜率kPQ、kOM都存在时，求kPQkOM的值．
四、（本题满分16分）11设x表示不超过实数x的最大整数．求集合


k21k2004kN的2005
元素个数．
五、（本题满分16分）

11515，
Z．12数列f
的通项公式为f
225
记S
C
f1C
f2C
f
，求所有的正整数
，使得S
能被8整除．
12

2
f2005年上海市高中数学竞赛（CASIO杯）试卷参考答案
1．952i
2792．3321010
3．4．
11i22
23
5．8253256．7．8．
17493125

23
22
129．0，或4
10．
152
11．150312当且仅当
3
3
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