2017年上海市高中数学竞赛试卷
（2017年3月27日星期日上午8：30～10：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分）1．计算：iiii
012100

952i
．（i表示虚数单位）
2．设是某三角形的最大内角，且满足si
8si
2，则可能值构成的集合是
279（用列举法表示）．3321010
3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则x表示的复数是
11i22
．
AE
x
i1
B
D
C
F
CD上各有一点E、F，CF2cm，4．如图，正四面体ABCD的棱长为6cm，在棱AB、若AE1cm，
则线段EF的长为
23
cm．
5．若关于x的方程4xa32x50至少有一个实根在区间12内，则实数a的取值范围为
825325
．
6．a、b、c、d、e是从集合12345中任取的5个元素（允许重复），则abcde为奇数的概率为
17943125
．
1，7．对任意实数x、y，函数fx满足fxfyfxyxy1，若f1则对负整数
，f
的表达式

23
22
．
22228．实数x、y、z满足xyz0，且xyz1，记m为x、y、z中最大者，则m的最小
2
2
值为
12
．
f二、（本题满分14分）设fx相同．解：若a＝0，则对每个正数b，fxbx的定义域和值域都是0，故a＝0满足条件若a＞0，则对每个正数b，fx
ax2bx，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正数b，使fx的定义域和值域
ax2bx的定义域ax2bx的值域A0
D＝xa2xbx00，但fxa



b
故D≠A，即a＞0不合条件若a＜0，则对每个正数b，fx
bax2bx的定义域D＝0，a
由于此时fxmaxf
bbb2，故fxaxbx的值域为02a2a2a
所以，
a0bba4a2a2aa
综合所述，a的值为0或－4三、（本题满分14分）已知双曲线
x2y21（a、bR）的半焦距为c，且b2ac．PQ是双曲线上任意两点，Ma2b2
为PQ的中点，当PQ与OM的斜率kPQ、kOM都存在时，求kPQkOM的值．解：∵M是PQ的中点，设M（x0，y0），P（x0＋α，y0＋β－）r