只有一个正根证明设fxx5x1则fx是0内的连续函数因为f01f11f0f10所以函数在01内至少有一个零点即
x5x10至少有一个正根
假如方程至少有两个正根则由罗尔定理fx存在零点但fx5x410矛盾这说明方程只能有一个正根13设fx、gx在ab上连续在ab内可导证明在ab内有一点使
fafbfafbagagbgag
解设x
fafx则x在ab上连续在ab内可导由拉格朗日中值定gagx
理存在ab使
baba
即
faffaffafbfafabagagbgagagaggag
fafbfafbagagbgag
因此
14证明若函数fx在内满足关系式fxfx且f01则
fxex
fx则在内有exfxexfxe2fxexfxe2x0e2xe2x所以在内x为常数
证明令x
因此x01从而fxex15设函数yfx在x0的某邻域内具有
阶导数且f0f0f
1
00试用柯西中值定理证明
fxf
x01
x
证明根据柯西中值定理
fxfxf0f1
11介于0与x之间x0x
1
4
ff1f1f0f22介于0与1之间
1
1
1
2
1
1
0
12f3f2f2f03介于0与2之间
2
2
2
3
12
12
10
1
23
依次下去可得
f
1
1f
1
1f
10f

介于0与
1之间
12
1
12
1
120

所以
fxf

x
fxf
x01
x

由于
可以表示为
x01所以
习题321用洛必达法则求下列极限l
1x1limx0xxx2limeex0si
x3limsi
xsi
axaxa4limsi
3xxta
5x5liml
si
x2x2x
2
6limx
a
xaxa7liml
ta
7xx0l
ta
2x
mm
8limta
xxta
3x
2
l
11x9limxarccotx
10lim
l
1x2x0secxcr