arccosx1x12证明设fxarcsi
xarccosx因为
fx1101x21x2
所以fxC其中C是一常数因此fxf0arcsi
xarccosx即arcsi
xarccosx227若方程a0x
a1x
1a
1x0有一个正根x0证明方程
a0
x
1a1
1x
2a
10
必有一个小于x0的正根证明设Fxa0x
a1x
1a
1x由于Fx在0x0上连续在0x0内可导且
F0Fx00根据罗尔定理至少存在一点0x0使F0即方程a0
x
1a1
1x
2a
10
必有一个小于x0的正根
2
f8若函数fx在ab内具有二阶导数且fx1fx2fx3其中
ax1x2x3b证明
在x1x3内至少有一点使得f0证明由于fx在x1x2上连续在x1x2内可导且fx1fx2根据罗尔定理至少存在一点1x1x2使f10同理存在一点2x2x3使f20又由于fx在12上连续在12内可导且f1f20根据罗尔定理至少存在一点12x1x3使f09设ab0
1证明

b
1aba
b
a
1ab
证明设fxx
则fx在ba上连续在ba内可导由拉格朗日中值定理存在
ba使fafbfab即a
b

1ab
因为
b
1ab
1ab
a
1ab所以
b
1aba
b
a
1ab10设ab0证明
abl
aababb
证明设fxl
x则fx在区间ba上连续在区间ba内可导由拉格朗日中值定理存在ba使
fafbfab即l
al
b1ab
因为ba所以
1abl
al
b1ab即abl
aababbab11证明下列不等式
1arcta
aarcta
bab2当x1时exex证明1设fxarcta
x则fx在ab上连续在ab内可导由拉格朗日中值定理存在ab使
fbfafba即arcta
barcta
a12ba1
所以arcta
barcta
a12baba即arcta
aarcta
bab12设fxex则fx在区间1x上连续在区间1x内可导由拉格朗日中值定理存在1x使
fxf1fx1即exeex1
因为1所以
3
fexeex1ex1即exex
12证明方程x5x10r