20°，∴∠APC∠APM180°，∠AMN∠AMP180°，∴C、P、M、N四点在同一条直线上；
②解：连接BN易得ΔABN是等边三角形
∴∠ABN60°，∵∠ABC30°，∴∠NBC90°，∵AC2，
∴ABBN4，BC23，
∵PAPM，PBMN，∴PAPBPCPCPMMNCN，
在Rt△CBN中，CNBC2BN227，∴PAPBPC27．
2如图2中，
∵∠BPC90°，∴点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），设BC的中点为O，作直线OQ交⊙O与P和P′，
可得PQ的最小值为31，PQ的最大值为31，PQ≠2，∴31≤PQ≤31且PQ≠2．
fPQ的取值范围是31PQ31且PQ2
【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
10．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延
长线于点G，垂足为F．连接OC．
（1）若∠G48°，求∠ACB的度数；
（2）若ABAE，求证：∠BAD∠COF；
（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若
ta
∠
CAF
12
，求
S1S2
的值．
【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）34
【解析】【分析】（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；（2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE∠AEB，再证明∠BCG∠DAC，可得
CDPBPD，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结
论；（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OGCFx，AGOF，设OFa，则
OAOC2xa，根据勾股定理列方程得：（2xa）2x2a2，则a3x，代入面积公式可得结4
论．【详解】（1）连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD90°，∴∠ACB∠BCD90°，
f∵AD⊥CG，
∴∠AFG∠G∠BAD90°，
∵∠BAD∠BCD，
∴∠ACB∠G48°；
（2）∵ABAE，
∴∠ABE∠AEB，∵∠ABC∠G∠BCG，∠AEB∠ACB∠DAC，由（1）得：∠G∠ACB，∴∠BCG∠DAC，
∴CDPB，
∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC，
∴CDPD，
∴CDPBPD，
∴∠BAD2∠DAC，
∵∠COF2∠DAC，∴∠BAD∠COF；
（3）过O作OG⊥AB于G，设CFx，
∵ta
∠CAF1CF，2AF
∴AF2x，
∵OCOA，由（2）得：∠COF∠OAG，
∵∠OFC∠AGO90°，∴△COF≌△OAG，∴OGCFx，AGOF，设OFa，则OAOC2xa，
Rt△COF中，CO2CF2OF2，
∴（2xa）2x2a2，
a3x，4
∴OFAG3x，4
∵OAOB，OG⊥AB，
∴AB2AG3x，2
∴
S1S2

1ABOG21CFAF

3xx2x2x
3．4
2
f【点睛】圆的综合题r