一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，APAC．
（1）若∠B60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD4，求BEAB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA，
∵∠ADC∠B，∠B60°，∴∠ADC60°，∵CD是直径，∴∠DAC90°，∴∠ACO180°90°60°30°，∵APAC，OAOC，∴∠OAC∠ACD30°，∠P∠ACD30°，∴∠OAP180°30°30°30°90°，即OA⊥AP，∵OA为半径，∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，
f∵CD是直径，∴∠DBC90°，∵CD4，B为弧CD中点，
∴BDBC
，
∴∠BDC∠BCD45°，
∴∠DAB∠DCB45°，
即∠BDE∠DAB，
∵∠DBE∠DBA，
∴△DBE∽△ABD，
∴
，
∴BEABBDBD
．
考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．
2．如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形ABCD．1如图1求证AD∥BC；2如图2点F是AC的中点弦DG∥AB交BC于点E交AC于点M求证AE2DF；
3在2的条件下若DG平分∠ADCGE53ta
∠ADF43求⊙O的半径。
【答案】1证明见解析；（2）证明见解析；（3）129
【解析】试题分析：1连接AC．由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论．（2）延长AD到N，使DNAD，连接NC．得到四边形ABED是平行四边形，从而有ADBE，DNBE．由圆内接四边形的性质得到∠NDC∠B．即可证明ΔABE≌ΔCND，得到AECN，再由三角形中位线的性质即可得出结论．（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB∠ANC，四边形ABED是平行四边
f形，得到ABDE．再证明ΔCDE是等边三角形，ΔBGE是等边三角形，通过解三角形ABE，得到AB，HB，AH，HE的长，由ECDEAB，得到HC的长．在Rt△AHC中，由勾股定理求出AC的长．作直径AP，连接CP，通过解△APC即可得出结论．试题解析：解：1连接AC．∵ABCD，∴弧AB弧CD，∴∠DAC∠ACB，∴AD∥BC．
（2）延长AD到N，使DNAD，连接NC．∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴ADBE，∴DNBE．∵ABCD是圆内接四边形，∴∠NDC∠B．∵ABCD，
∴ΔABE≌ΔCND，∴AECN．∵DNAD，AFFC，∴DF1CN，∴AE2DF．2
（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB∠ANC，四边形ABED是平行四边形，∴ABDE．
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