3x2－6x，令f′x＝0，得x＝0或x＝2∴fx在－10上是增函数，fx在01上是减函数．∴fxmax＝fx极大值＝f0＝2
28
f【拔高】1、2013课标全国Ⅰ已知函数fx＝exax＋b－x2－4x，曲线y＝fx在点0，f0处的切线方程为y＝4x＋4
1求a，b的值；2讨论fx的单调性，并求fx的极大值．
29
f【规范解答】1f′x＝exax＋b＋aex－2x－4＝exax＋a＋b－2x－4
∵y＝fx在0，f0处的切线方程为y＝4x＋4，
∴f′0＝a＋b－4＝4，f0＝b＝4，
∴a＝4，b＝42由1知f′x＝4exx＋2－2x＋2＝2x＋22ex－1令f′x＝0得x1＝－2，x2＝l
12，列表：
x
－∞，－
－2
－2，l
12
1l
2
l
12，＋∞
2
f′x
＋
0
－
0
＋
fx
极大值
极小值
30
f∴y＝fx的单调增区间为－∞，－2，l
12，＋∞；单调减区间为－2，l
12fx极大值＝f－2＝4－4e－22．已知函数fx＝ax2＋bx＋cex在01上单调递减且满足f0＝1，f1＝01求a的取值范围．2设gx＝fx－f′x，求gx在01上的最大值和最小值．
31
f【规范解答】1由f0＝1，f1＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则fx＝ax2－a＋1x＋1ex，f′x＝ax2＋a－1x－aex，依题意对于任意x∈01，有f′x≤0当a0时，因为二次函数y＝ax2＋a－1x－a的图像开口向上，而f′0＝－a0，所以需f′1＝a－1e0，即0a1；当a＝1时，对于任意x∈01，有f′x＝x2－1ex≤0，且只在x＝1时f′x＝0，fx符合条件；
32
f当a＝0时，对于任意x∈01，f′x＝－xex≤0，
且只在x＝0时，f′x＝0，fx符合条件；
当a0时，因f′0＝－a0，fx不符合条件．
故a的取值范围为0≤a≤1
2因gx＝－2ax＋1＋aex，
g′x＝－2ax＋1－aex，
①当a＝0时，g′x＝ex0，
gx在x＝0处取得最小值g0＝1，
在x＝1处取得最大值g1＝e
②当a＝1时，对于任意x∈01有g′x＝－2xex≤0，gx在x＝0处取得最大值g0＝2，
在x＝1处取得最小值g1＝0
1－a③当0a1时，由g′x＝0得x＝2a0
1－a若2a≥1，即
0a≤13时，
gx在01上单调递增，
33
fgx在x＝0处取得最小值g0＝1＋a，在x＝1处取得最大值g1＝1－ae
当1－2aa1，即13a1
时，gx在
1－ax＝2a处取得最大值
1－a
1－a
g2a＝2ae2a，
在x＝0或x＝1处取得最小值，而g0＝1＋a，g1＝1－ae，
e－1由g0－g1＝1＋a－1－ae＝1＋ea＋1－e＝0，得a＝
e＋1
则当13a≤ee＋－11时，g0－g1≤0，gx在x＝0处取得最小值g0＝1＋a；
e－1当a1时，g0－g10，
e＋1
gx在x＝1处取得最小值g1＝1－ae
课程小结
34
f1、利用导数研究函数的r