利用导数求最值
导数是研究数学和其他自然科学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具，研究导数，有利于对数学的本质和价值的认识。导数的工具性已渗透到数学的很多分支，在函数的研究中得到充分的体现，主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。下面就利用导数求最值作一阐述，供参考。一、函数的最大值与最小值在闭区间ab上连续，在（ab）内可导，fx在ab上求最大值与最小值的步骤：先求fx在（ab）内的极值；再将fx的各极值与fa、fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。求可导函数极值的步骤：首先：求导数fx；再求导数fx0的根；最后：检查fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么fx在这个根处取极大值；如果左负右正，那么fx在这个根处取极小值。二、利用导数求最值
112x12x13的最小值。x2311223解：设fxl
xx1x1，则x23111fx2x12x122x1x12x12xxx
例1、设x0，求l
x
1x211xx1212x1x122x1x1222xxx
x132x1x2
令fx0，由x0，解得x1。列表：
x
fx
fx
（0，1）－
10最小值
1
＋
由表可知，当x1时，fx有最小值1。评注：利用导数求最值，先确定函数的极值是关键，同时，最值通常应在极值及端点处取得。当函数f（x）为连续函数且在
ab
上单调时，其最大值、最小值在端点处取得；当
连续函数f（x）在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处f（x）有极大（小）
1
f值，则可以判定f（x）在该点处取得最大（小）值，这里（a，b）也可以是无穷区间。练习1：已知a≥0，函数f（x）＝（x－2ax）e，当x为何值时，f（x）取得最小值？并证明你的结论；三、利用导数求最值的运用（一）求函数的值域例2、求函数fx5x2x34x的值域．解：由
2x
x30得fx的定义域为3x4。4x0
110，所以x32x4
因为yfx5x2x34x5
fx在34上单调递增，故当x3时，y最小157x4时，
y最大2027。所以值域为1572027r