不是函数的极值点.2若函数y=fx在区间a,b内有极值,那么y=fx在a,b内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.
11
f考点三利用导数求函数的最值例3已知函数fx=ax2+1a0,gx=x3+bx
1若曲线y=fx与曲线y=gx在它们的交点1,c处具有公共切线,求a,b的值;2当a=3,b=-9时,若函数fx+gx在区间k2上的最大值为28,求k的取值范围.
12
f【规范解答】1f′x=2ax,g′x=3x2+b
因为曲线y=fx与曲线y=gx在它们的交点1,c处具有公共切线,
所以f1=g1且f′1=g′1,即a+1=1+b且2a=3+b,解得a=3,b=3
2记hx=fx+gx,当a=3,b=-9时,hx=x3+3x2-9x+1,所以h′x=3x2+6x-9
令h′x=0,得x1=-3,x2=1h′x,hx在-∞,2上的变化情况如下表所示:
-∞,-
x
-3
3
h′x
+
0
-31-
1122
0
++
hx
28
-4
3
由表可知当k≤-3时,函数hx在区间k2上的最大值为28;
当-3k2时,函数hx在区间k2上的最大值小于28因此k的取值范围是-∞,-3.
【总结与反思】1求解函数的最值时,要先求函数y=fx在a,b内所有使f′x=0的点,再计算函数y=fx
在区间内所有使f′x=0的点和区间端点处的函数值,最后比较即得.
13
f2可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况.
五、课堂运用
【基础】1、1设函数fx=13x3-1+ax2+4ax+24a,其中常数a1,则fx的单调减区间为________.
14
f【答案】22a【规范解答】f′x=x2-21+ax+4a=x-2x-2a,由a1知,当x2时,f′x0,故fx在区间-∞,2上是增函数;当2x2a时,f′x0,故fx在区间22a上是减函数;当x2a时,f′x0,故fx在区间2a,+∞上是增函数.综上,当a1时,fx在区间-∞,2和2a,+∞上是增函数,在区间22a上是减函数.
15
f2已知a0,函数fx=x3-ax在1,+∞上是单调递增函数,则a的取值范围是________.
16
f【答案】03【规范解答】∵f′x=3x2-a,fx在1,+∞上是单调递增函数,∴f′x≥0,∴a≤3x2,∴a≤3又a0,可知0a≤3
17
f2、设fx=1+exax2,其中a为正实数.1当a=43时,求fx的极值点;2若fx为R上的单调函数,求a的取值范围.
18
f1+ax2-2ax
【规范解答】对fx求导得f′x=ex
①
1+ax22
1当a=43时,若f′x=0,则4x2-8x+3=0,
解得x1=32,x2=12结合①,可知
x
-∞,12
12
f′x
+
0
12,32-
32
32,+∞
0
+
fx
极大值
所以x1=32是极小值点,x2=12是极大值点r