大值,最小的一个是最小值.
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f四、例题精析
考点一利用导数研究函数的单调性例1已知函数fx=ex-ax-1
1求fx的单调增区间;2是否存在a,使fx在-23上为减函数,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.
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f【规范解答】f′x=ex-a,1若a≤0,则f′x=ex-a≥0,即fx在R上单调递增,若a0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥l
a因此当a≤0时,fx的单调增区间为R,当a0时,fx的单调增区间是l
a,+∞.2∵f′x=ex-a≤0在-23上恒成立.∴a≥ex在x∈-23上恒成立.又∵-2x3,∴e-2exe3,只需a≥e3当a=e3时,f′x=ex-e3在x∈-23上,f′x0,即fx在-23上为减函数,∴a≥e3故存在实数a≥e3,使fx在-23上为减函数.【总结与反思】1利用导数的符号来判断函数的单调性;2已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题;3fx为增函数的充要条件是对任意的x∈a,b都有f′x≥0且在a,b内的任一非空子区间上f′x≠0应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.
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f考点二利用导数求函数的极值例2设a0,函数fx=12x2-a+1x+a1+l
x.
1求曲线y=fx在2,f2处与直线y=-x+1垂直的切线方程;2求函数fx的极值.
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f【规范解答】1由已知,得x0,f′x=x-a+1+ax,y=fx在2,f2处切线的斜率为1,所以f′2=1,即2-a+1+a2=1,所以a=0,此时f2=2-2=0,故所求的切线方程为y=x-22f′x=x-a+1+ax=x2-a+x1x+a=x-1xx-a①当0a1时,若x∈0,a,f′x0,函数fx单调递增;若x∈a1,f′x0,函数fx单调递减;若x∈1,+∞,f′x0,函数fx单调递增.此时x=a是fx的极大值点,x=1是fx的极小值点,函数fx的极大值是fa=-12a2+al
a,极小值是f1=-12x-12②当a=1时,f′x=x0,所以函数fx在定义域0,+∞内单调递增,此时fx没有极值点,故无极值.③当a1时,若x∈01,f′x0,函数fx单调递增;若x∈1,a,f′x0,函数fx单调递减;若x∈a,+∞,f′x0,函数fx单调递增.
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f此时x=1是fx的极大值点,x=a是fx的极小值点,函数fx的极大值是f1=-12,极小值是fa=-12a2+al
a综上,当0a1时,fx的极大值是-12a2+al
a,极小值是-12;当a=1时,fx没有极值;当a1时,fx的极大值是-12,极小值是-12a2+al
a【总结与反思】1导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是r