标面，且被积函数
f
x
yz
x2

yy2

z2
是关于，x

y

z
的
偶函数，所以由对称性知
x6a2x2y2ds8x6a2x2y2ds

1
8ax6dxdy8ar7cos6drd
D1
D1

2
a
8acos6r7dr
0
0
5a932
（二）第二类曲面积分的对称问题与第二类曲线积分类似有以下结论
定理6设为关于xoy平面对称的有向光滑曲面，其方程式一双直函数，设为
zzxy，xy∈Dxy（其中Dxy为在xoy平面的投影区域），记1，2分别位
于xoy平面的上半部分与下半部分，1与2的侧关于xoy平面相反，函数Rxyx在
上连续，那么
（1）当Rxyx关于z为偶函数时，则
Rxyzdxdy0
（2）当Rxyx关于z为奇函数时，则
Rxyzdxdy2Rxyzdxdy

1
证明依定理条件不妨设
1：zzxy，xy∈Dxy，1取上侧
2：zzxy，xy∈Dxy，2取下侧
于是由对坐标的曲面积分的性质及计算方法有
RxyzdxdyRxyzdxdyRxyzdxdy

1
2
RxyzxydxdyRxyzxydxdy
Dxy
Dxy
fRxyzxydxdyRxyzxydxdy
Dxy
故
（1）当Rxyx关于z为偶函数时，有
RxyzdxdyRxyzxydxdyRxyzxydxdy

Dxy
0dxdy0
Dxy
（2）当Rxyx关于z为奇函数时，有
RxyzdxdyRxyzxydxdyRxyzxydxdy

Dxy
2Rxyzxydxdy
Dxy
2Rxyzdxdy1
注：对于Pxyzdydz，Qxyzdzdx有类似定理6的结论


例6计算Ixyzdxdy，式中为球面x2y2z21的外侧位于x≥0，y≥0的
部分。
解：依题设条件分析知，该曲面积分满足定理6，故有
I2xyzdxdy2xy1x2y2dxdy
1
Dxy

2
1
si
2dr31r2dr
0
0
215
其中1：z1x2y2，xy∈Dxyxyx2y2≤1，x≥0，y≥0
例7Ix2yzdydzy2zxdzdx2zdxdy其中，为锥面z1x2y2被
平面z0所截得的部分，取上侧
解：原式可写为三个曲面积分之和，即
fIx2yzdydzy2zxdzdx2zdxdy



依题设条件可知右端第一，第二曲面积分均满足定理3的结论，故有
I2zdxdy
21x2y2dxdy
DXY
21
2d1rrdr
00
23
其中：Dxyxyx2y2≤1
三结束语由以上几例可以看出利用对称性计算曲线积分与曲面积分不仅是可行的，而且有时还可
以起到简化计算的作用，在学习中可以充分利用对称性计算曲线积分与曲面积分，提高运算速度和效果，给学习带来很多方便。
参考文献：
1格马菲赫金哥尔茨。数学分析原理M北京：人民教育出版社，19792同济大学数学系高等数学M北京：高等教育出版社，19973翁莉娟，韩云瑞光滑曲r