方程为
yyx，（axa），记L1L2分别为L位于y轴的右半部分与左半部分，L1L2分别在x轴上的投影方向相同，函数Pxy在L上连续，那么
（1）当Pxy关于x为奇函数时，则
Pxydx0L
（2）当Pxy关于x为偶函数时，则
Pxydx2Pxydx
L
L1
证明依定理条件不妨设
L1：yyx，x从点0变到点a
L2：yyx，x从点a变到点0
于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有
PxydxPxydxPxydx
L
L1
L21
f0
Pxyxdxa
对右端第2个积分，令xt，有
0
a
PxyxdxPtytdt
a
0
因此有
a
a
LPxydxPxyxdxPxyxdx
0
0
a
PxyxPxyxdx
0
故（1）当Pxy在L上关于x为奇函数时，有
a
LPxydxPxyxPxyxdx
0
a
0dx0
0
（2）当Pxy在L上关于x为偶函数时，有
a
LPxydxPxyxPxyxdx
0
a
2Pxyxdx
0
2PxydxL1
注：对于Qxydy有类似定理4的结论L
例3计算Ixy2dxx2y2si
ydy，其中L为x2y2a2（a＞0）按
L
逆时针方向从点A（a，0）到点B（a，0）的上半圆周
解可将原式改写为3个曲线积分的代数和，即
Ix2y2dx2xydxx2y2si
ydy
L
L
L
依题设条件分析知，等式右端第一、第二、第三个曲线积分满足定理4，故有
0
Ix2y2dx2x2y2dx2x2a2x2dx2a3
L
L1
a
f二
曲面积分
（一）第一类曲面积分的对称问题
定理5设函数fxyz在光滑（或分片光滑）曲面上可积，且对称于xoy（或yoz
或zox）坐标面，则
（1）当fxyz是关于z，x和y的偶函数时，fxyzds8fxyzds（其

1
中1是位于对称坐标面一侧的部分）
（2）当fxyz是关于z，x和y的奇函数时，fxyzds0
推论设函数fxyz在光滑（或分片光滑）曲面上可积，且关于
xoyyozzox坐标面均对称，则
（1）当fxyz是关于z，x和y的偶函数时，fxyzds8fxyzds（其

1
中1是在第Ⅰ卦限的部分）
（2）当fxyz是关于z，x和y中至少某一变量的奇函数时，fxyzds0
例4
计算

x2

yy2
z2
ds，其中：平面z0，zH之间的圆柱面x2

y2
R2
解：因为积分曲面对称于zox坐标面，且被积函数fxyz
x2

yy2

z2
是关于
y
的奇函数，所以

x2

yy2
z2
ds
0
z
H
o
y
R
x
例5计算x6a2x2y2ds，其中：x2y2z2a2解：令1：x2y2z2a2，0xa，0ya，0za，则D1：x2y2
≤a20xa0ya
fds
1
z
2x

z
2y
dxdy

a
dxdy
a2x2y2
因为
对称于三个坐r