fxydslim
L
x0i
fiiSi
i
fiiSi
lim2x0i
fiiSi
2fxydsL1
（2）当fxy是y的奇函数，即fiifii时，
fxydslim
L
x0i
fiiSi
i
fiiSi
limx0i
fiiSi

f
i
i

S
i

i
limx0
0Si0（证毕）
i
定理2设函数fxyz在三维光滑或（分段光滑）曲线上可积，且曲线对
称于xoy（或yoz或zox）坐标面，则
（1）当fxyz为关于z（或x或y）的偶函数时，有
fxyzds21fxyzds（其中1是位于对称坐标面一侧的部分）；（2）当fxyz为关于z（或x或y）奇函数时，有fxyzds0
推论设函数fxy在二维光滑（或分段光滑）曲线L上可积，L对称于ox和oy
轴，则
（1）当fxy是关于y和x的偶函数时，有Lfxyds4L1fxyds（其中L1
是L位于第Ⅰ象限中的部分）
（2）当fxy是关于y和x中至少某一变量的奇函数时，有fxyds0L
f例1计算
xds
xy1xy
解：∵积分曲线既对称于ox轴又对称于oy轴，且被积函数fxyx是x的xy
奇函数
y
∴原式
xds
xds0
xy1xy
1xy1
x
注：除利用对称性之外，还用到了利用积分曲线方程化简被积函数的技巧。（二）第二类曲线积分的对称问题
定理3设L为xoy平面上关于x轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值
函数，设为yyx，（axb）。记L1L2分别为L位于x轴的上半部分与下半部分，L1L2分别在x轴上的投影的方向相反，函数Pxy在L上连续，那么
（1）当Pxy关于y为偶函数时，则
Pxydx0L
（2）当Pxy关于y为奇函数时，则
Pxydx2Pxydx
L
L1
证明依定理条件不妨设
L1：yyx，x从点a变到点b
L2：yyx，x从点b变到点a
于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有
PxydxPxydxPxydx
L
L1
L21
b
b
PxyxdxPxyxdx
a
a
b
PxyxPxyxdx
a
故（1）当Pxy关于y为偶函数时，有
b
b
LPxydxPxyxPxyxdx0dx0
a
a
f（2）当Pxy关于y为奇函数时，有
b
LPxydxPxyxPxyxdx
a
b
2Pxyxdx
a
2PxydxL1
注：对于Qxydy有类似定理1的结论L
例2计算Ixydx，其中L我抛物线y2x从点A（1，1到点B（1，1）的一段弧
L
解：依题设条件知，该曲线积分满足定理3，故有
I2
1
xydx2x
xdx4
L1
0
5
其中，L1：yx，x从点0变到点1。
关于曲线积分Pxydx还有另一个对称性的结论是L
定理4设L为xoy平面上关于y轴对称的一条有向光滑曲线弧，奇r