利用对称性计算曲线积分与曲面积分
摘要：借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，利用曲线、曲面关于坐标轴及坐标面得对称性，探讨了对于定义在具有对称性的曲线、曲面上的奇（偶）函数，如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分。这种积分方法使得曲线（面）积分更为简便、快捷，同时，也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误。而第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题，因此利用对称性来计算较为困难，文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法，并证明了方法的可行性，并通过实例表明，此方法有时能起到简化计算的作用。关键词：奇（偶）函数曲线积分曲面积分对称计算
引：在高等数学的学习和研究中，各种积分的运算，有时会给我们带来较多的困难，而借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，定义在关于坐标轴及坐标面对称的曲线、曲面上的奇（偶）函数，利用它们的对称性计算曲线积分及曲面积分，可以使得曲线（面）积分更为简便、快捷。一、曲线积分
（一）第一类曲线积分的对称问题
定义1设函数fxy定义在二维光滑曲线上，
（1）若满足关系式或fxy，则称fxy为关于x或y的偶函数；
（2）若fxy满足关系式fxyfxy或fxyfxy，则称
fxy为关于或y的奇函数；
定义2设函数fxyz定义在三维光滑曲线上
（1）若fxyz满足关系式fxyzfxyz或fxyzfxyz或
fxyzfxyz，则称fxyz为关于x或y或z的偶函数；
（2）若fxyz满足关系式fxyzfxyz或fxyzfxyz
或fxyzfxyz，则称fxyz为关于x或y或z的奇函数；
定理1设函数fxy在二维光滑（或分段光滑）曲线L上可积，且曲线L关于
ox（或oy）对称，则：
（1）当偶函数时，
fxyds2
L
L1
fxyds（其中L1是L位于对称轴一侧的
部分）；
（2）当fxy是y（或x）的奇函数时，fxyds0L
证设关于ox轴对称的光滑曲线LL1L2（其中L1、L2分别是曲线L位于ox
轴上、下两侧的部分）；
f则：
fxydsfxyds
L
L1
L2
用曲线L上关于ox轴对称点系分割L，在L1上的小弧段中任取一点（i，i），
在L2上关于Si对称于ox轴的小弧段中任取一点（i，i），构造和式：
fiiSifiiSi
i
i
令：诸小弧段中最长者为

，由于
f
x
y
在
L
上可积且
Si

S
i
于是
（1）当fxy是y的偶函数，即fiifii时，
r