为常数列
5、等比数列的前
项和：
（1）数列a
的前
项和S
a1a2a3a
1a
N；
（2）数列a

的通项与前


项和
S

的关系：
a




S

S1
1S
1

2
（3）设等比数列a

的首项为a1，公比为q
q0
，则
a1q1
S



a1
1q


1q
q1
由等比数列的通项公式及前
项和公式可知，已知a1q
a
S
中任意三个，便可建立方程组求出另外两个
6、等比数列的前
项和性质：
设等比数列a
中，首项为a1，公比为qq0，则
（1）连续m项的和仍组成等比数列，即a1a2amam1am2a2ma2m1a2m2a3m仍为等比数列（即
SmS2mSmS3mS2m成等差数列）；
（2）当
q

1时，
S


a1
1q
1q
a11q
1q
a1a1q
a1q
a1，设a1t，则S
tq
t
1q1q
q1
q1
q1
5
f四、递推数列求通项的方法总结
1、递推数列的概念：
一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出
的数列叫做递推数列
2、两个恒等式：
对于任意的数列a
恒有：
（1）a
a1a2a1a3a2a4a3

a


a
1（2）a


a1

a2a1

a3a2

a4a3


a
a
1
a


0


N

3、递推数列的类型以及求通项方法总结：
类型一（公式法）：已知S
（即a1a2
a


f
）求a
，用作差法：a

S1
1S
S
1
2
类型二（累加法）：已知：数列a
的首项a1且a
1a
f
N，求通项a

给递推公式a
1a
f
N中的
依次取123，……，
1可得到下面
1个式子：
a2a1f1a3a2f2a4a3f3a
a
1f
1
利用公式a
a1a2a1a3a2a4a3a
a
1可得：a
a1f1f2f3f
1
类型三（累乘法）：已知：数列a

的首项
a1
且
a
1a


f

N
，求通项a

给递推公式a
1a


f

N中的


一次取123，……，
1可得到下面
1
个式子：a2a1

f
1a3
a2

f
2a4
a3

f
3
a
f
1
a
1
利用公式a


a1

a2a1

a3a2

a4a3


a
a
1
a


0
N
可得：a


a1

f
1f
2f
3
f
1
类型四（构造法）：形如a
1pa
q、a
1pa
q
（kbpq为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的
等比数列后，再求a
。
①a
1

pa

q解法：把原递推公式转化为：a
1t

pa

t，其中t
q1p
，再利用换元法转化为等比数列求解。
②a
1

pa

q
解法：该类型较要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以q
1，得：a
1
q
1

pq

a
q


1引q
入辅助数列b

（其中b


a
q

），得：b
1

pq
b

r