中档大题规范练
1．解三角形
1．【2017苏锡常镇调研】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．已知acosB＝3，bcosA＝1，且A－B＝π6
【1】求c的长；
【2】求B的大小．
解【1】方法一在△ABC中，acosB＝3，由余弦定理，
得aa2＋2ca2c－b2＝3，得a2＋c2－b2＝6c，①
bcosA＝1，则bb2＋2cb2c－a2＝1，得b2＋c2－a2＝2c，②
①＋②得2c2＝8c，所以c＝4
方法二因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
则si
AcosB＋si
BcosA＝si
【A＋B】
＝si
【π－C】＝si
C，
abc由si
A＝si
B＝si
C，得
si
A＝asci
C，si
B＝bsic
C，代入上式得
c＝acosB＋bcosA＝3＋1＝4【2】由正弦定理得abccoossBA＝ssii
ABccoossBA＝ttaa
AB＝3
又ta
【A－B】＝1t＋a
tAa－
Attaa
BB＝1＋2t3at
aB
2B＝33，
解得ta
B＝33又B∈【0，π】，所以B＝π62．【2017苏州暑假测试】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bcosC＋ccosB＝2acosA【1】求角A的大小；【2】若→AB→AC＝3，求△ABC的面积．解【1】方法一在△ABC中，由正弦定理及bcosC＋ccosB＝2acosA，得si
BcosC＋si
CcosB＝2si
AcosA，即si
A＝2si
AcosA
f因为A∈【0，π】，则si
A≠0，所以cosA＝12，所以A＝π3方法二在△ABC中，由余弦定理及bcosC＋ccosB＝2acosA，得ba2＋2ba2b－c2＋ca2＋2ca2c－b2＝2ab2＋2cb2c－a2，所以a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12因为A∈【0，π】，所以A＝π3【2】由→AB→AC＝bccosA＝3，得bc＝23，所以△ABC的面积S＝12bcsi
A＝12×23si
π3＝323．【2017南京、盐城一模】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsi
2C＝csi
B【1】求角C的大小；【2】若si
B－π3＝35，求si
A的值．解【1】由bsi
2C＝csi
B，根据正弦定理得2si
Bsi
CcosC＝si
Csi
B因为si
B＞0，si
C＞0，所以cosC＝12又C∈【0，π】，所以C＝π3【2】因为C＝π3，所以B∈0，23π，所以B－π3∈－π3，π3，又si
B－π3＝35，所以cosB－π3＝1－si
2B－π3＝45又A＋B＝23π，即A＝23π－B，所以si
A＝si
2π3－B＝si
π3－B－π3
f＝si
π3cosB－π3－cosπ3si
B－π3
＝23×45－12×35＝4130－34【2017徐州、连云港、宿迁三检】如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cosA＝45，cos∠ACB＝153，BC＝13【1】求cosB的值；【2】求CD的长．解【1】在△ABC中，cosA＝45，A∈【0，π】，
所以si
A＝1－cos2A＝1－542＝35同理可得，si
∠ACB＝1132所以cosB＝cosπ－【A＋∠ACB】＝－cos【A＋∠ACB】＝si
Asi
∠ACB－cosAcos∠ACB＝35×1123－45×153＝6156【2】在△ABC中，由正弦定理，得AB＝sBiC
Asi
∠ACB＝133×1123＝20又AD＝3DB，所以BD
5＝14AB＝5在△BCD中，由余弦r