4．应用题1．【2017苏锡常镇调研某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC【如图．设计要求彩门的面积为S【单位：m，高为h【单位：m【S，h为常数．彩门的下底BC固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架组成，设腰和下底的夹底为α，不锈钢支架的长度之和记为l【1请将l表示成关于α的函数l＝f【α；【2问：当α为何值时l最小，并求最小值．
2
π解【1过D作DH⊥BC于点H，则∠DCB＝α0＜α＜，DH＝h，设2
AD＝xhh2h则DC＝，CH＝，BC＝x＋si
αta
αta
α
2h1Sh因为S＝x＋x＋h，则x＝－，ta
α2hta
α则l＝f【α＝2DC＋AD＝＋h
Sh
2－10＜α＜π2si
αta
α
α－11－2cosα－2cos－22＝hsi
2α，si
αsi
α
【2f′【α＝h
1－2cosαπ令f′【α＝h＝0，得α＝2si
α3当α变化时，f′【α，f【α的变化情况如下表：α
0，π3
－
π30极小值
π，π32
＋
f′
【α
f【αSπ所以lmi
＝f＝3h＋h3
πS答当α＝时，l有最小值，为3h＋【m．3h2．【2017南京学情调研如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域【以O为圆心，
AB为直径，现计划对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD＝80m，在半圆上选定一点
f2C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Sm设∠AOC＝xrad
【1写出S关于x的函数关系式S【x，并指出x的取值范围；【2试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值？
解【1因为扇形AOC的半径为40m，∠AOC＝xrad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝800x0＜x＜π在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，1所以△COD的面积S△COD＝OCODsi
∠COD2＝1600si
【π－x＝1600si
x，从而S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600si
x＋800x0＜x＜π【2由【1知，S【x＝1600si
x＋800x0＜x＜π，1则S′【x＝1600cosx＋800＝1600cosx＋，22π由S′【x＝0，解得x＝，3
xOA2
2
＝
2π2π2π从而当0＜x＜时，S′【x＞0；当＜x＜π时，S′【x＜0，因此S【x在区间0，333上单调递增，在区间
2π，π上单调递减．3
2π所以当x＝时，S【x取得最大值．32π答当∠AOC＝时，改建后的绿化区域面积S最大．33．某宾馆在装修时，为了美观，欲将客户的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形r