全国高中数学联赛模拟题
一
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）填空题（1已知a≥2，且Ax2≤x≤a，Byy2x3x∈A，Cttxx∈A，若CB，则
2
试






a的取值范围是
。
2在ABC中，若AB2，AC3，BC4，O为ABC的内心，且AOλABBC，则
uuuv
uuuv
uuuv
uuuv
uuuv
uuuv
λ

2x1x≤03已知函数fx若关于x的方程fxxa有且只有两个不相等的实数根，则实fx1x0
数a的取值范围是。
4计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数
时按下这个按键，会等可能的将其替换为0
1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是5已知椭圆。
x2y21的左、右焦点分别为F1、2，F过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、则△F1PQQ，43
．
内切圆面积的最大值是
6设a
为一个整数数列，并且满足：
1a
1
1a
2
1，∈N．2008a2007，
若则满足2008a
且
≥2的最小正整数
是．一个半径为12的径是的方。程
7如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半8在平面直角坐标系内，将适合xyx3y3且使关于t
x3y3t43xyt2
10没有实数根的点xy所成xy
。
的集合记为N，
则由点集N所成区域的面积为
二、解答题（本题满分56分）解答题（本小题满分9（本小题满分16分）对正整数
≥2，记a

∑
k2k1，求数列a
中的最大值．
k1

1


1
x2y210（本小题满分10（本小题满分20分）已知椭圆221过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线yx的ab
交点为B、C。现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足
2e21时，求实数m的取值范围。3
1
f11（本小题满分20分）映射f的定义域是A12L20的全体真子集，值域包含于12L10，满足本小题满分条件：对任意BCA，都有fBICmi
fBfC，求这种映射的个数．


加
一、（本题满分40分）、（本题满分
试
ACBC设A、、、、为直线l上顺次排列的五点，BCDE，在直线l外的一点，F连结FC并延长至点G，CECD
恰使∠FAC∠AGD，∠FEC∠EGB同时成立求证：∠FAC∠FEC。
二、（本题满分40分）、（r