1997年全国高中数学联合竞赛试卷
10月5日上午8001000
一、选择题每小题6分，共36分1．已知数列x
满足x
1x
x
1
≥2，x1ax2b记S
x1x2Lx
，则下列结论正确的是Ax100aS1002baCx100bS100baBx100bS1002baDx100aS100ba
2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得AECFλ0λ∞，AEBFD记fλαλβλ其中αλ表示EF与AC所成的角，
βλ表示EF与BD所成的角，则Afλ在0∞单调增加Bfλ在0∞单调减少Cfλ在01单调增加而在1，∞单调减少Dfλ在0∞为常数
EBFCD
3设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有A2个B3个C4个D5个4．在平面直角坐标系中，若方程mx2y22y1x2y32表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为A01B1∞C05D5∞
5．设fxx2πxαarcsi
1βarctg5γarccos1δarcctg5则3434AfαfβfδfγBfαfδfβfγCfδfαfβfγDfδfαfγfβ
6．如果空间三条直线abc两两成异面直线，那么与abc都相交的直线有A0条B1条C多于1的有限条D无穷多条
f二、填空题每小题9分，共54分x131997x11，则xy1、设xy为实数，且满足3y11997y11

y21的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使2得ABλ的直线l恰有3条，则λ2、过双曲线x2
3、已知复数z满足2z11，则z的幅角主值范围是z
．
4、已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰三角形，SASBSC2，AB2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．
5、设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．6、设algzlgxyz11，blgx1lgxyz1，clgylgxyz11，记abc中最大数为M，则M的最小值为．三、（本题满分20分）设x≥y≥z≥π，且xyzπ，求乘积cosxsi
ycosz的最大值和最小值．122
f四、本题满分20分正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．设双曲线xy1的两支为C1C2如图，1求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；2设P11在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．
y
C1OP11
x
C2
五、r