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2016年全国高中数学联赛试题
一、填空题
1．设实数a满足a9a311aa，则a的取值范围是____________
【解】由于aaa，0a9a311aa
ìa9a311a
í
9a3

11a


a
解
之
得
，
a231033
2设复数zw满足z3，zwzw74i，其中i是虚数单位，zw分别是zw的
共轭复数，则z2wz2w的模为_____________
【解】
zwzwz2w2zwzw74iz2w2z2w27zwzw4iz3，z29w22，
z2wz2wz24w22zwzw988i18i，
z2wz2w16465
【点评】zz2Rezzz2Imz
3正数uvw均不等于1，若loguvwlogvw5logvulogwv3则logwu_______
【解】let
loguva，logvwb由于loguv鬃logvw
logu
w

lgvlgu
lgwlgv
lgwlgu
1，
The

logw
u

1ab
，
logu
vw
logv
w

a
b
ab

5logv
u
logw
v

1a

1b

3
，

logw
u

1ab

45

【点评】换元法
4袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸
币，现随机从两个袋子中各取两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币
面值之和的概率是_________________
【解】A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币A中取走的纸币面值之和小于B中
取走的纸币之和，
当袋子A中取走2张1元时，有C323种取法，只要B不取2张1元即可，有C72C3218，
其余情况均不符合题意，故
PA

C32C72C32C52C72

935

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5设P为一圆锥的顶点，ABC是底面圆周上的三点，满足ABC900，M为AP的中点若AB1AC2AP2，则二面角MBCA的大小为______________
【解】
1
ta
M

BC
A
MNNB

231

23
M

BC
Aarcta

23

4
6设函数fxsi
4kxcos4kx，其中k是一个正整数若对任意实数a，均有
10
10
fxaxa1fxxR，则k的最小值是___________
【解】
fxsi
4
kxcos4
kx
si
2
kxcos2
kx2

2si
2
kxcos2
kx
1
1si
2
kx
1
11
cos2kx5
10
10
10
10
10102522
31cos2kx445
当且仅当x5mpmZ时，fx取到最大值，对于任意一个长为1的区间aa1至k
少包含一个最大值点，从而5p1k5pk
反之，当k5p时，对于任意一个区间aa1均包含fx的一个完整周期，此时，
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fxaxa1fxxR成立，
综上，正整数k的最小值为5p116
7设w为正实数，若存在abpabr