据已知太阳光的照射角度将其与ABC中AB上的高建立联系从而确定最值
【点评】求解几何体中的面积最值首先要明确所求图形面积的表示式区分该图形中的定值与变量然后根据几何体的结构特征和已知条件确定变量的最值即可如该题中抓住QD的变化建立与已知太阳光的照射角的关系是准确确定最值的关键所在学￥科网【小试牛刀】在三棱锥ABCD中ΔABC和ΔBCD都是边长为a的正三角形求三棱锥的全面积的最大值
f三体积的最值问题
【例5】如图3已知在ABC中C90PA平面ABCAEPB于EAFPC于
FAPAB2AEF当变化时求三棱锥PAEF体积的最大值
图3
【分析】的变化是由ＡＣ与ＢＣ的变化引起的要求三棱锥PAEF的体积则需找到三棱锥PAEF的底面
积和高高为定值时底面积最大则体积最大
【解析】因为PA平面ABCBC平面ABC所以PABC又因为BCACPAACA所以BC平面PAC又AF平面PAC所以BCAF又AFPCPCBCC所以AF平面PBC即AFEFEF是AE在平面PBC上的射影因为AEPB所以EFPB即PE平面AEF在三棱锥PAEF中APAB2AEPB
所以PE2AE2
AF2si
EF2cos，
VPAEF

13SAEF
PE
112si
2cos2
32
f2si
2因为0所以02，0si
21
6
2
因此当

4
时VPAEF取得最大值为
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【点评】几何体体积的最值问题的解决要根据几何体的结构特征确定其体积的求解方式分清定量与变量
然后根据变量的取值情况利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的最值如该题中确定三棱锥底面的
面积最值是关键
【小试牛刀】【2017安徽省黄山市上学期期末质量检测】在棱长为6的正方体
中是中
点点是面
所在的平面内的动点且满足
则三棱锥
的体积最大值是（）
A36B【答案】B
C24D
四角的最值【例6】如图在四棱锥S－ABCD中底面ABCD是直角梯形侧棱SA⊥底面ABCDAB垂直于AD和BCSAABBC2AD1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点MN与面SAB所成的角为求si
的最大值
【分析】直接根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系求出相关点的坐标和向量坐标利用向量运算进行证明计算即可【解析】
f当
1x

3即x5

53
时
si


max

35
7
【小试牛刀】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中P是A1B1上的一动点平面PAD1和平面PBC1与对角面ABC1D1所成的二面角的平面角分别为α、β试求αβ的最大值和最小值
f解析：如图对角面A1B1CD⊥对角面ABC1D1其交线为EF过P作PQ⊥EF于Q则PQ⊥对r