EFAO为平行四边形，则AFOE，而AF面BDE，OE面BDE，（3分）AF面BDE（2）解：ABCD是正方形ABCDEDC为异面直线AB与DE所成的角或其补角…………………………（5分）又BDAC又面ABCD面ACEF，且面ABCD面ACEFACBD面ACEF，又OE面ACEF，BDOE
而由EC1，OCOA1，ECA60

OE1，又OD1，则EDOE2OD22
又CD2CE1CosEDC
221222

34
异面直线AB与DE所成的角的余弦值为
3……………………………（8分）4
E为棱AB的中点．20．如图2，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点
求：（1）D1E与面DBC1所成角的正弦值；（2）点D1到面DBC1的距离．解：（1）以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D1002E210，ED2121
DB220DC1022，设面DBC1的一个法向量为
DB2x2y0，取
111
xyz，则
DC2y2z01
cosED1

ED1
ED1


21233
39

39
4分
∴D1E与面DBC1所成角的正弦值为（2）D1C1020
∴d
D1C1


23

233
233
∴点D1到面DBC1的距离为
8分
f21如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．1）当点E为AB中点时，求二面角D1－EC－D的正切值2探究当AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为解：（1）连接DE，∵E是AB的中点，
π．4
AD＝AA1＝1，AB＝2，∴DEEC2，DC2
DE2EC2DC2，DEEC，又在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
DD1面ABCD，∴D1EEC，∴D1EC是二面角D1－EC－D的平面角
ta
D1EC
D1D212所以二面角D1－EC－D的正切值为2DE22
4分
2在底面ABCD内作DH⊥EC连接D1H则D1HD就是二面角D1－EC－D的平面角
D1HD

4
∴DH1∵DC2DCE

6
BCE

3
BE3AE23
∴当AE23时，二面角D1－EC－D的大小为
π．4
8分
2方法二以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE＝x，则A11，0，1，D10，0，1，E1，x，0，A1，0，0，C0，2，0．
CE1x20D1C021DD1001．
设平面D1EC的法向量
abc，由

D1C0
2bc0令b＝1，∴c＝2，a＝2－x．abx20
CE0
∴
＝2－x，1，2．依题意cos
π
DD1222．224
DD1x2r