1k21
4
4
4
∵3k210，即k24
k21k21
4
4
∴2k2故由①、②得2k3或3k222
问题十一：存在性问题：（存在点，存在直线ykxm，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）
设椭圆E
x2a2

y2b2
1（ab0）过M（2，
2），N
61两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点AB且
OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围，若不存在说明理由。
解（1）因为椭圆E
x2a2

y2b2
1（ab0）过M（2，
2），N
61两点
4
所以

a26
a2

2b21b2

11
解得


1a21b2

1814
所以
a2b2
8椭圆4
E的方程为
x28

y24
1
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点AB且OAOB设该圆的切线方程
ykxm
为
y

kx

m
解方程组

x2
y2
得x22kxm28即12k2x24kmx2m280wwwks5ucom
841
则△16k2m2412k22m2888k2m240即8k2m240

x1

x2

4km12k2

x1x2

2m2812k2
y1y2

kx1

mkx2

m

k2x1x2

kmx1

x2

m2

k22m2812k2

4k1
2m22k2

m2

m28k212k2
要使OA

OB需使
x1x2

y1y2
0即
2m212k
8
2

m28k212k2
0所以3m2
8k2
80所以k2

3m288
0又8k2m2
40
所以
m23m2
28
所以
m
2

83
即m

263
或m


263
因为直线
y

kx
m为圆心在原点的圆的一条切线所以圆的半径
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为r
m1k2
r2

1
m2k
2

1
m23m2

8
8r26
3
3
所求的圆为x2y28此时圆的切线ykx3
m都满足
8
m26或m26而当切线的斜率不存在时切线为x26与椭圆x2y21的两个交点为
3
3
3
84
2626或2626满足OAOB综上存在圆心在原点的圆x2y28，使得该圆的任意一条切线
3
3
3
3
3
与椭圆E恒有两个交点AB且OAOB
因为

4km
x1

x2

1
2k
x1x2

2m2812k2
2
所以x1

x22

x1

x22
4x1x2

4km212k2
r