2009年清华大学自主招生数学试题（理科）
1．设
51的整数部分为a，小数部分为b51
ab；3求limbb2b
212
2
1
1求ab；2求a2b2
2．1xy为实数，且xy1，求证：对于任意正整数
，x2
y2

2abc为正实数，求证：
abc3，其中xyz为abc的一种排列xyz
3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论
x2y21，过椭圆左顶点Aa0的直线L与椭圆交于Q，与y轴a2b2
4．已知椭圆
交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P求证：AQ，2OP，AR成等比数列
5．已知si
tcost1，设scostisi
t，求fs1ss2s
6．随机挑选一个三位数I
1求I含有因子5的概率；2求I中恰有两个数码相等的概率
7．四面体ABCD中，ABCD，ACBD，ADBC
1求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；
2设三个面与底面BCD所成的角分别为，求证：coscoscos1
8．证明当pq均为奇数时，曲线yx22px2q与x轴的交点横坐标为无理数
9．设a1a2a2
1均为整数，性质P为：对a1a2a2
1中任意2
个数，存在一种分法可将其分为两组，每组
个数，使得两组所有元素的和相等求证：a1a2a2
1全部相等当且仅当a1a2a2
1具有性质P
f2009年清华大学自主招生数学试题（理综）
1．求值：22e
2i5
e
6i5
2．请写出一个整系数多项式fx，使得233是其一个根3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论。4．现有100个集装箱，每个集装箱装两件货物。在取出来的过程中货物的顺序被打乱了，现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中。集装箱体积都是1，且每个集装箱最多放两件货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把这个货物装到下个集装箱中。问在最坏情况下需要多少个集装箱。5．A，B两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若a1a2a
出现在黑板上，则形如
ax的数都不能写，不得不写1的人算输。初始状态黑板上写着5，6
iii
问先写的人还是后写的人有必胜策略？6．64匹马能否通过50场比赛比出任意两匹马之间的优劣？（每场比赛至多8匹马参赛）7．A，B两人玩一个游戏，A提供若干硬币，B可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上，并确定一个目标顶点u。规则是：A可以选择一个上r