y时四个矩形木雕的总面积最大最大值为
abS2abS
考点2
函数与导数模型的应用题
f【例1】
【解答】1由fx1axa0可得fx2axPtft
2
直线MN的斜率kft2at则直线MN的方程为y1at22atxt
1at21at20tat2at令y0可得xMt可得M
令x0可得yM1at2可得N01at2
at1at112所以StS△OMN2×1at×2at4at
222
12当t2时St取得最小值
2at212at4at4aat212at2112a2t24a16a2t216a2t2St
11422由题意知S0即12a×44a0解得a3
41134221at14124323此时St的最小值为S24at
2
【练习】
【分析】构建函数模型然后利用导数研究函数的单调性和最值
3030【解答】1潜入水底用时v单位时间用氧量为v×cv230cv水底作业时
用氧量为5×042
606012返回水面用时v单位时间用氧量为v×02v12所以y30cv2vv0
121230cvv21210c2y30cv2v≥22
212当且仅当30cvv即v5c时取等号
f222当5c≤5即c≥125时v5c时y的最小值为21210c
2221230cv122v2当5c5即c125时y30cv0
12因此函数y30cv2v在05上为减函数22所以当v5时y的最小值为150c5
22综上当c≥125时下潜速度为5c时用氧量最小为21210c
222当0c125时下潜速度为5时用氧量最小为150c5
考点3
三角形与三角函数模型
S1【分析】用aθ表示S1和S2a固定时S2是关于θ的函数然后可以利
【例1】
用换元法或求导来研究其单调性从而求出最小值
11【解答】1S12asi
θacosθ4a2si
2θ设正方形边长为x则xBQta
RCxta
θx所以ta
xta
θxaasi
21ta
1所以xta
2si
2
a
a2si
22asi
22所以S22si
24si
24si
24
2
f2当a固定θ变化时
S114si
24S24si
2
令si
2θt
S1S1149t4S0t≤1利用单调性求得t1时2mi
4则S24t
【练习】
【解答】1由题意可知点M为PQ的中点所以OM⊥AD
设OM与BC的交点为F则BC2Rsi
θOFRcosθ
1ABOF2ADRcosθRsi
θ
所以SABBC2Rsi
θRcosθRsi
θR22si
θcosθ2si
2θR2si
2θ
ππ204R2θ∈41cos2θ2R2si
πππ3π02因为θ∈4则2θ4∈44
πππ所以当2θ42即θ8时S有最大值
Smax21R2
π故当θ8时矩形ABCD的面积S有最大值21r