d

d
z

2
1
dd
0
0
1
2
2
dz1
2
10
121
d


2
10
221
d

2
1
0

21



2
2

1
d


2
1
0

21


2

2
1
1
1
d


2
12
l

2
1



arcta


10
2

12
l

2
1
4

f16、预造一长方体容器，已知底部造价为每平方米30元，侧面和顶面造价为每平方米10元，现想用360元造一个容积最大的长方体容器，问该容器的尺寸应为多少？
解：设长方体容器的长、宽、高分别为x、y、z，则它们满足条件：
30xy102xz2yzxy360，即2xyxzyz18长方体的容器为Vxyz
令Lxyz2xyxzyz18，解下列方程组
Lxyz2yz0

Ly

xz

2x

z

0

Lz

xy

x

y

0
2xyyzxz18
得：xy3z23
17、求由圆柱面x2y22ax围成的空间区域被球面x2y2z24a2所截，计算截下部
分的体积。

2acos
4a22
解：V


dv

420
d
0
d0
dz


2acos
42d

0
0
4a2
2
d
4

2
0
13
4a2


2

32

2
a
cos
0
d
4
13

20
8a3
si
3


8a3

d

48a33

20
si
3

1
d

32a33

20
si
2


si

1
d

323
a3

20
si
2


si

d

2



32a33

20
1

cos2


dcos


2



32a33
cos
1cos33

20



2



323
a3
23

2

f18、求由旋转抛物面z1x2y2与平面z0所围立体的表面积。
解：立体在旋转抛物面z1x2y2上这部分的面积为
A1
12x22y2dxdy
2
d
1
142d
0
0
Dxy
2
1
142d

2

1
3
1422
1


3
52
1
0
12
6
0
立体底面面积A2，所以立体的表面积为
A

A1

A2

6
3
52
1

6
5
51
四、证明题（每小题7分，共14分）
19、设函数fu有二阶连续导数，令ux2y2，若复合函数zfx2y2满足
2zx2

2zy2

x2

y2z

x2

y2
证明：fu满足f1f1u。44
证明：由zfx2y2得：
zx

f
2x

2x
f

，
zy

f
2y

2y
f

2z2f4x2f
x2
，
2zy2

2
f


4y2
f

代入
2zx2

2zy2

x2

y2
f

x2

y2，得
2f4x2f2f4y2fx2y2fx2y2
f即：4x2y2fx2y2fu，所以
4ff
u，
f14
f

1u4
20、设fx是ab上的正值连续函数，试证：

D
fxdxdyfy
ba2
其中Dxyaxbayb
解：由轮换对称性得：
D
fxdxdyfy


D
fydxdyfx
所以：2D
fxfy
dxdy


D
fxfy
dxdyD
ff
yx
dxdy


D
ff
xy

ff
yx

dxdy
因为
fxfy2fxfy2fyfxfyfx

所以：D
fxfy
ff

yx

dxdy


D
2
dxdy

2b

a2
即：
2
D
ff

xy
dxdy

2b

a2
，
D
fxdxdyba2fy
fr