触到的容器内壁的面积是723．
解如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面A1B1C1
平面ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体PA1B1C1的中心，
PO面A1B1C1，垂足D为A1B1C1的中心．
因
VPA1B1C1

13SA1B1C1
PD

4VOA1B1C1

4
13

SA1B1C1

OD
，
故PD4OD4r，从而
POPDOD4rr3r．
记此时小球与面PAB的切点为P1，连接OP1，则
PP1PO2OP123r2r222r．考虑小球与正四面体的一个面不妨取为PAB相
切时的情况，易知小球在面PAB上最靠近边的
切点的轨迹仍为正三角形，记为P1EF，如答
12图2．记正四面体
的棱长为a，过P1作P1MPA于M．
因MPP1

6
，有
3PMPP1cosMPP122r2
6r，
故小三角形的边长
答12图1
P1EPA2PMa26r．
答12图2
f小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）
SPABSP1EF
3a2a24
6r23
2ar6
3r2．
又r1，a46，所以SPABSP1EF24363183．
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数fxsi
x的图像与直线ykxk0有且仅有三个交点，交点的横坐标的
最大值为，求证：cos12．
si
si
34
答13图
证fx的图象与直线ykxk0的三个交点如答13图所示，且在3内相2
切，其切点为Asi
，3．2
…5分
由于fxcosx，x3，所以cossi
，即ta
．
2

因此
…10分
coscossi
si
32si
2cos

1
4si
cos
…15分
cos2si
2
1ta
2
12
．
4si
cos4ta
4
…20分
14．解不等式log2x123x105x83x611log2x41．
f解法一由1log2x41log22x42，且log2y在0上为增函数，故原不等式等价于
x123x105x83x612x42．
即
x123x105x83x62x410．
…5分
分组分解x12x10x82x102x82x64x84x64x4x6x4x2x4x210，
x82x64x4x21x4x210，
…10分
所以x4x210，x215x2150．
2
2
…15分
所以x215，即x15或x15．
2
2
2
故原不等式解集为5151．
2
2
…20分
解法二由1log2x41log22x42，且log2y在0上为增函数，故原不等式
等价于x123x105x83x612x42．
…5分
即
2x2

1x6

x6
3x4
3x2
12x2
2

x2
13
2x2
1，
1321x2132x21，
x2
x2
…10分
令
gt

t
3

2t
，则不等式为
g
1x2


gx2
1
，
显然gt
t3
2t在R上为增函数，由此上面不等式等价于
1x2

x2
1，
…15分
即x22x210，r