2008年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数A．0解当x
fx
54xx2在∞2上的最小值是2x
B．1C．2D．3
（C）
22时，2x0，因此fx144xx12x≥2
2x
2x
12x2x
2，当且仅当12x时上式取等号．而此方程有解x1∈∞2，因此fx在∞2上的最小值为2．
2x
2．设
A24，Bxx2ax4≤0，若BA，则实数a的取值范围为
B．12C．03D．03
2
（D）
A．12解因x
ax40有两个实根
x1aa2，aa2，4x242424
故B
A等价于x1≥2且x24，即
aa2a2且a，4≥2442424
解之得0
≤a3．
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为2，乙在每局中获胜的概率为1，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望33（B）A24181B266
81
Eξ
为
C27481
D670243
解法一依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
215．22339
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有
5Pξ2，9
4520，Pξ49981
416Pξ62，981
故Eξ
52016266．2×4×6×9818181
解法二依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6
令
Ak表示甲在第k局比赛中获胜，则Ak表示乙在第k局比赛中获胜．
由独立性与互不相容性得
fPξ2PA1A2PA1A2
5，9
Pξ4PA1A2A3A4PA1A2A3A4PA1A2A3A4PA1A2A3A4
211220，233333381
Pξ6PA1A2A3A4PA1A2A3A4PA1A2A3A4PA1A2A3A4
2116422，3381
故Eξ2×54×206×16266．
9
81
81
81
4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为（A）A764cm3或586cm3C586cm或564cm
33
B764cm3D586cm3
解设这三个正方体的棱长分别为
22
abc
2
，则有
2
6a2b2c2564
2
，
a2b2c294
，不妨设
1≤a≤b≤c10，从而3c≥abc94，c31．故6≤c10．c只能取9，8，7，6．
若c若c
9，则a2b2949213，易知a2，b3，得一组解abc239．
228，则a2b2946430，b≤5．但2b≥30r