以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由韦达定理求出两根间的关系或有关线段长度间的关系。后者往往计算量小，解题过程简捷。例9、一直线截双曲线和它的渐近线，证明夹在渐近线与双曲线间的线段相等。（《数学通报》80年第6期
P22）
分析：如图，要证夹在渐近线间的线段相等，即证
ABCD
，只要证xB
xAxDxC，即证：
xBxCxAxD，于是只要证：AD的中点与BC的中点重合即可
证明：如图设双曲线方程为（a
b2x2a2y2a2b2
2222，则它的渐近线方程为bxay0设直0b0）线ykxm与双曲线的两支和它的两条渐近线交于（从左到右）Ax1y1、Bx2y2、Cxy3、Dx4y4。由3


b
ykxm
2
a2k2x22a2mkxa2b2m20。设其两根为
，依韦达定理，有：x1


，
b2x2a2y2a2b2

消去

y
得：
x1、x4
x4
消
2a2mkb2a2k2
去
。由：
b
ykxm
2
，
b2x2a2y20
y
得
a2k2x22a2mkax2m20。
设其两根为x2、x3，依韦达定理，有：x2
图5
x3
，
2amkba2k2
2
2
。因此，x1
x4x2x3，即
。当
x2x1x4x3。由于AB1k2x2x1直线垂直于x轴时结论显然成立。
CD1k2x3x4ABCD
说明：A、D两点是直线与双曲线的两交点，所以将直线方程与双曲线联立，不解方程可以求出AD中点2222的坐标；而B、C两点是直线与双曲线两渐近线的两交点，方程bxay0是两渐近线的合成，因此只要将直线方程与两渐近线的合成方程b
22
xa2y20联立，不解方程可以求出B、C中点的坐标，而不
必分别求直线与两条渐近线的交点。222例10、已知圆xyr，及直线是否存在抛物线，恒与直线CD相切。解：连
ya0ar交于A、B，圆的动弦CD的中点在AB上，
MctgakOM
故CD
。令OMXtgkCDctg。
OM

则
yactgxctgctg2xctgay0。（1）视（1）为ctg的一元二次方程，点xy在直线CD上
x24a4y≥0x≥4ya（2）。由（2）知直线CD
xy在抛物线x24ya的外部区域（不含焦点的区域）2或在抛物线x4ya上。yctgxctg2a代将CD的方程
上的点5
入
图6ax24y
中
得
fx24ctgx4cr