且OP23．
连结OB．因为ABBC2AC，所以△ABC为等腰直角三角形，2
且OBAC，OB1AC2．2
由OP2OB2PB2知POOB．
由OPOBOPAC知PO平面ABC．
（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．
由已知得O000B200A020C020P0023AP0223取平面PAC的法向
量OB200．
设Ma2a00a2，则AMa4a0．设平面PAM的法向量为
xyz．
由
AP




0
AM




0
得
2
y

2
3z0
，可取
ax4ay0

3a43aa，
所以cosOB

23a4
．由已知得
23a423a2a2
cosOB
3．2
所以
23a4
3．解得a4（舍去），a4．
23a423a2a22
3
所以
83434．又PC0223，所以cosPC
3．
333
4
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为3．4
理科数学试题第6页（共9页）
f21．解：
（1）当a1时，fx1等价于x21ex10．设函数gxx21ex1，则gxx22x1exx12ex．
当x1时，gx0，所以gx在0单调递减．
而g00，故当x0时，gx0，即fx1．
（2）设函数hx1ax2ex．
fx在0只有一个零点当且仅当hx在0只有一个零点．
（i）当a0时，hx0，hx没有零点；（ii）当a0时，hxaxx2ex．
当x02时，hx0；当x2时，hx0．
所以hx在02单调递减，在2单调递增．故h214a是hx在0的最小值．
e2①若h20，即ae2，hx在0没有零点；
4
②若h20，即ae2，hx在0只有一个零点；4
③若h20，即ae2，由于h01，所以hx在02有一个零点，4
由（1）知，当x
0时，ex

x2，所以h4a
116a3e4a
1
16a3e2a2
1
16a32a4
1
1a
0．
故hx在24a有一个零点，因此hx在0有两个零点．
综上，fx在0只有一个零点时，ae2．4
22．．解：
（1）曲线C的直角坐标方程为x2y21．416
当cos0时，l的直角坐标方程为yta
x2ta
，
理科数学试题第7页（共9页）
f当cos0时，l的直角坐标方程为x1．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程13cos2t242cossi
t80．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点12在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1t20．
又由①得t1

t2


42cossi
13cos2
，故
2cos
si


0
，于是直线l
的斜率
k

ta


2
．
23．解：
2x4x1（1）当a1时，fx21x2
2x6x2
可得fx0的解集为x2x3．
（2）fx1等价于xax24．
而r