xax2a2，且当x2时等号成立．故fx1等价于a24．
由a24可得a6或a2，所以a的取值范围是62．
21（12分）已知函数fxexax2．
（1）若a1，证明：当x0时，fx1；
（2）若fx在0只有一个零点，求a．解：
（1）fxex2x，fxex2．
当xl
2时，fx0，当xl
2时，fx0，所以fx在l
2单调递减，在l
2单
调递增，故fxfl
222l
20，fx在单调递增．
因为x0，所以fxf01．
（2）当
x

0时，设
gx

exx2
a
，则
f
x

x2gx
，
f
x
在0
只有一个零点等价于
gx
在
0只有一个零点．
理科数学试题第8页（共9页）
fgx

ex
xx3
2
，当
0

x

2时，
gx

0
，当
x

2
时，
gx

0
，所以
gx
在
02
单调递减，在
2单调递增，故gxg2e2a．4
若ae2，则gx0，gx在0没有零点．4
若ae2，则gx0，gx在0有唯一零点x2．4
若a

e24
，因为
g2

0，由（1）知当
x
0时，ex

x2
1，gx

exx2
a

1x2
1a
，故存在
x10
a
1
1


0
2
，使
g

x1


0
．
g4a

e4a16a2
a

e4a16a2
a
exx2，
理科数学试题第9页（共9页）
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