听课随笔
第11课时基本不等式的证明2
【学习导航】
11的最小值xy
知识网络
基本不等式内容（２）y的最大值为２x1．证明最值定理使用条件：一正二定三相等（３）xy的最大值为【解】答案：（1）y的最小值为6（x2）．
2010x2y．77
学习要求
作用：求最值
（4）
11的最小值为322xy
1理解最值定理的使用条件：一正二定三相等．2运用基本不等式求解函数最值问题．【课堂互动】
x
21y1
2．2
自学评价
１．最值定理：若x、y都是正数，1如果积xy是定值P那么当且仅当xy时和xy有最小值
2P
．
2如果和xy是定值S那么当且仅当xy时积xy有最大值
12S4
例2错在哪里．（１）求y
x25x24
x∈R的最小值
２．最值定理中隐含三个条件：一正二定三相等．【精典范例】例1．1已知函数yx此函数的最小值
解∵y
x25x24
x241x4
1x4
2
16x－2求x2

2
512已知x求y4x－1的最44x5
大值3已知x0y0且5x7y20求xy的最大值4已知xy∈R且x2y1求
2
x2
4
2
∴y的最小值为2（２）已知xy∈R且x４y1，求
11xy
的最小值．
f法一：由１＝x4y24xy得
（1）y的最小值为１２（x
1xy
6）．2
听课随笔
4
1128．xyxy
（２）y的最大值为－２（x1）．（３）xy的最小值为16（x4y12）．（4）y的最大值为２（x1）．（5）y2．
所以
所以原式最小值为８．法二：由
112（当且仅当xyxyxy
xy时等号成立）．于是有得x4y1
xy02．所以
【选修延伸】利用函数单调性求函数最值例3求函数yx
11的最小值为5510xy
16x4的最小值x2
略解：令tx2，则t6且
yt
162，椐单调性定义可证：关于tt
思维点拔：
１．利用基本不等式求最值问题时，一定要交代等号何时成立，只有等号成立了，才能求最值，否则要用其它方法了．而在证明不等式时，不必要交代等号何时成立．２．例2是常见典型错误，它违背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后两条。
的函数y在6上为增函数，所以当t6时，y的最小值为
20．3
追踪训练一
1求函数y4x2
思维点拔：
9的最小值；x2
利用基本不等式求解时等号不能成立故改用函数单调性求解
2已知x0求y
1x2的最大值；x
191求xy
追踪训练二
求函数y
4si
2x的最小值2si
x
3已知xy∈Rr