2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）1．复数1i41i4．
2．已知直线xmy10是圆Cx2y24x4y50的一条对称轴，则实数
m

3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是（结果用最简分数表示）．4．已知cos4
1，则si
4cos45
．
5．已知向量a，b满足ab2ab为邻边的平行四边形的面积为
π，则以向量2ab与3ab表示的有向线段3．
6．设数列a
的前
项和为S
．若S
是首项及公比都为2的等比数列，则数列a
3的前
项和等于．7．设函数fxx22．若fa＝fb，且0＜a＜b，则ab的取值范围是8．设fm为数列a
中小于m的项的个数，其中a
2
N，则ff2011．9．一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是．10．已知m是正整数，且方程2xm10xm100有整数解，则m所有可能的值是．二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知圆x2y21与抛物线yx2h有公共点，求实数h的取值范围．
．
f12．设fxx2bxcbcR．若x2时，fx0，且fx在区间23上的最大值为1，求b2c2的最大值和最小值．
13．如图，P是ABC内一点．
1（1）若P是ABC的内心，证明：BPC90BAC；211（2）若BPC90BAC且APC90ABC，证明：P是ABC的内心．22
A
P
B
C
14．已知是实数，且存在正整数
0，使得
0为正有理数．证明：存在无穷多个正整数
，使得
为有理数．
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题答案及点评
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）1．复数1i41i4．
f答案：－8基础题，送分题，高考难度2．已知直线xmy10是圆Cx2y24x4y50的一条对称轴，则实数
m
答案：

32
基础题，送分题，高考难度3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是（结果用最简分数表示）．答案：
19145
基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错4．已知cos4答案：
1，则si
4cos45
．
45计算量挺大r