且对任意实数x恒有fx＋2＝－fx当x∈02时fx＝2x－x21求证：fx是周期函数2当x∈24时求fx的解析式1证明∵fx＋2＝－fx∴fx＋4＝－fx＋2＝fx∴fx是周期为4的周期函数2解∵x∈24∴－x∈－4－2∴4－x∈02∴f4－x＝24－x－4－x2＝－x2＋6x－8∵f4－x＝f－x＝－fx∴－fx＝－x2＋6x－8即fx＝x2－6x＋8x∈24
13若定义在R上的偶函数fx满足fx0fx＋2＝________答案1解析因为fx0fx＋2＝所以fx＋4＝fx＋2＋2＝11＝＝fxfx＋21fx1fx
1对任意x∈R恒成立则f2023＝fx
即函数fx的周期是4所以f2023＝f506×4－1＝f－1因为函数fx为偶函数所以f2023＝f－1＝f1
f11当x＝－1时f－1＋2＝得f1＝f－1f1由fx0得f1＝1所以f2023＝f1＝114已知函数fx＝x3＋2x若f1＋flog130a0且a≠1则实数a的取值范围是
a
____________答案01∪3＋∞解析因为函数fx＝x3＋2x是奇函数且在R上是增函数f1＋flog130所以flog13
aa
110a1，a1，－f1＝f－1所以log13－1所以或0a3a3a，所以a∈01∪3＋∞
15已知函数fx＝si
x＋x对任意的m∈－22fmx－2＋fx0恒成立则x的取值范围为__________2答案－2，3解析易知fx在R上为单调递增函数且fx为奇函数故fmx－2＋fx0等价于fmx－2－fx＝f－x则mx－2－x即mx＋x－20对所有m∈－22恒成立令hm＝mx＋x－
h－20，22m∈－22此时只需即可解得－2x3h20
16已知fx是定义在R上的奇函数fx＋1是偶函数当x∈24时fx＝x－3则f1＋f2＋f3＋f4＋…＋f2020＝________答案0解析因为fx为奇函数fx＋1为偶函数所以fx＋1＝f－x＋1＝－fx－1所以fx＋2＝－fx所以fx＋4＝－fx＋2＝fx所以函数fx的周期为4所以f4＝f0＝0f3＝f－1＝－f1在fx＋1＝f－x＋1中令x＝1可得f2＝f0＝0所以f1＋f2＋f3＋f4＝0所以f1＋f2＋f3＋f4＋…＋f2020＝0
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