22
3
a




32
a

a2


2
3a2，
S∴凸曲边四边形EFGHS正方形EFGH4S扇形CEFSCEF


3

1

3

a
2
，
因此草坪上能同时被四个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为13．3
（二）解答题（本大题共4个小题，前两题各15分，后两题各20分，共70分）
（11）（本小题满分15分）已知实数xy1，且xy2xy10，
求3x2y2的最小值．2
解析：由已知得：
y

1x1

2
，于是
32
x2

y2

32
x2


1x1

2
2
，
记
f
x

32
x2


x
1
1

2
2

，则
f
x

3x

2

x
11

2

1
x12
3xx134x23x2x134x26x136

x13

x13
3x2x134x26x2x2x1

x13
x23x33x23x1x23x2x12xx1

x13

x13
，
∴当1x2时，fx0；当x2时，fx0；当x2时，fx0；
∴fx在12上是减函数，在2上是增函数，∴fmi
xf215．法二：令x1my2
，则m
x1y21m0
0，
于是
32
x2

y2

3m
2
12


1m

2
2


3m22

1m2

3m
4m

32

4


m2

1m2


3
m

1m


12

m2

1m

1m


112

15
，
当且仅当m1时，即x2y3时等号成立，
因此3x2y2的最小值是15．2
（12）（本小题满分15分）已知正实数数列a
满足：
fa
1a12a22
a
2

3


N

，且
12
a1
a21N，
求证：12
a1a2
a
a
11N．
解析：下面用数学归纳法证明．
当
1时，由已知得12
a1
a21N，结论显然成立；
假设当
k时，结论成立，即12
a1
a2
akak11N，
记t12
a1
a2
akak11，则tN，
于是得：ak1a12a22ak24ta1a2ak4t21，
又ak1a12a22
ak23，∴a1a2
ak

t

1tak1


t

1t
2

3，
那么当
k1时，12
a1a2
akak1ak21

12
a1
a2
akak1a12a22
ak2
a2k1

4


12
t

1t


t

1
2

t

3


t

1t
2



t

1t
2

2
3



4



12
t3

1t3



t
3

1t3
2


4

12

t
3

1t3



t
3

1t3


t3

N

，
因此当
k1时结论成立；
综上所述，对任意的自然数
，都有12
a1
a2
a
a
11N成立．
（13）（本小题满分
20
分）已知椭圆
x2a2

y2b2
1a

b


0经过点P

62

12

，
离心率e2，动点M2tt0．
2
⑴求椭圆的标准方程；
⑵求以OM为直径且被直线3x4y50截得的弦长为2的圆的方程；
⑶设F是椭圆的右焦点，过点F作直线OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值．
f解析：⑴由已知得：
2

6
2

a2

1
2

2b2

1
a
2a2
b2

e2

12
，
联r