勾股定理经典例题含答案11页
勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么abc，若a、b、c都是正整数，abc叫做勾股数组。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。
远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。古埃及人也应用过勾股定理。在中国，西周的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C90°1已知a6，c10，求b，2已知a40，b9，求c；3已知c25，b15，求a思路点拨写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：1在△ABC中，∠C90°，a6，c10b2在△ABC中，∠C90°，a40，b9c3在△ABC中，∠C90°，c25，b15a
举一反三【变式】如图∠B∠ACD90°AD13CD12BC3则AB的长是多少【答案】∵∠ACD90°
AD13CD12∴AC2AD2－CD2
132－122
25∴AC5又∵∠ABC90°且BC3∴由勾股定理可得AB2AC2－BC2
52－32
16∴AB4∴AB的长是4
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在
中，
，
，
求：BC的长
思路点拨：由条件
，想到构造含角的直角三角形，为此作
于D，则有
，长
解析：作
，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的
于D，则因
，
1
f∴
（的两个锐角互余）
∴
（在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）
根据勾股定理，在
中，

根据勾股定理，在
中，

∴

举一反三【变式1】如图，已知：
，
，
于P求证：

解析：连结BM，根据勾股定理，在
而在
中，则根据勾股定理有

∴又∵
（已知），
∴

在
中，根据勾股定理有
，
∴

中，
【变式2】已知：如图，∠B∠D90°，∠A60°，AB4，CD2。求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：延长AD、BC交于E。∵∠A∠60°，∠B90°r