数fx的定义域为－11．
11x－f′x＝1＋1－x221－x2′＝1－21－x2
令f′x＝0，得x＝
22
∴fx在－11上的极值为f22＝＋221－22＝22
又fx在区间端点的函数值为f1＝1，f－1＝－1，比较以上函数值可得fxmax＝2，fxmi
＝－13116．设函数fx＝l
2x＋3＋x2求fx在区间－4，4上的最大值和最小值．3解析fx的定义域为－2，＋∞
ff′x＝2x＋＝
4x2＋6x＋22＝2x＋32x＋3
22x＋1x＋12x＋3
3当－x－1时，f′x0；21当－1x－时，f′x0；21当x－时，f′x0，231所以fx在－4，4上的最小值为11f－2＝l
2＋431493971311又f－4－f4＝l
＋－l
－＝l
＋＝1－l
90，21621672231171所以fx在区间－4，4上的最大值为f4＝l
＋21617．2010安徽理，17设a为实数，函数fx＝ex－2x＋2a，x∈R1求fx的单调区间及极值；2求证：当al
2－1且x0时，exx2－2ax＋1分析本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．解题思路是：1利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．2将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．解析1解：由fx＝ex－2x＋2a，x∈R知f′x＝ex－2，x∈R令f′x＝0，得x＝l
2于是当x变化时，f′x，fx的变化情况如下表：xf′xfx－∞，l
2－单调递减21－l
2＋al
20l
2，＋∞＋单调递增
故fx的单调递减区间是－∞，l
2，单调递增区间是l
2，＋∞，fx在x＝l
2处取得极小值，极小值为fl
2＝el
2－2l
2＋2a＝21－l
2＋a．2证明：设gx＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′x＝ex－2x＋2a，x∈R由1知当al
2－1时，g′x最小值为g′l
2＝21－l
2＋a0于是对任意x∈R，都有g′x0，所以gx在R内单调递增．于是当al
2－1时，对任意x∈0，＋∞，都有gxg0．
f而g0＝0，从而对任意x∈0，＋∞，gx0即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋14x2－718．已知函数fx＝，x∈01．2－x1求fx的单调区间和值域；2设a≥1，函数gx＝x3－3a2x－2a，x∈01．若对于任意x1∈01，总存在x0∈01，使得gx0＝fx1成立，求a的取值范围．解析1对函数fx求导，得－4x2＋16x－72x－12x－7f′x＝＝－2－x22－x217令f′x＝0解得x＝或x＝22当x变化时，f′x，fx的变化情况如下表：xf′xfx－r