数fx的定义域为-11.
11x-f′x=1+1-x221-x2′=1-21-x2
令f′x=0,得x=
22
∴fx在-11上的极值为f22=+221-22=22
又fx在区间端点的函数值为f1=1,f-1=-1,比较以上函数值可得fxmax=2,fxmi
=-13116.设函数fx=l
2x+3+x2求fx在区间-4,4上的最大值和最小值.3解析fx的定义域为-2,+∞
ff′x=2x+=
4x2+6x+22=2x+32x+3
22x+1x+12x+3
3当-x-1时,f′x0;21当-1x-时,f′x0;21当x-时,f′x0,231所以fx在-4,4上的最小值为11f-2=l
2+431493971311又f-4-f4=l
+-l
-=l
+=1-l
90,21621672231171所以fx在区间-4,4上的最大值为f4=l
+21617.2010安徽理,17设a为实数,函数fx=ex-2x+2a,x∈R1求fx的单调区间及极值;2求证:当al
2-1且x0时,exx2-2ax+1分析本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.解题思路是:1利用导数的符号判定函数的单调性,进而求出函数的极值.2将不等式转化构造函数,再利用函数的单调性证明.解析1解:由fx=ex-2x+2a,x∈R知f′x=ex-2,x∈R令f′x=0,得x=l
2于是当x变化时,f′x,fx的变化情况如下表:xf′xfx-∞,l
2-单调递减21-l
2+al
20l
2,+∞+单调递增
故fx的单调递减区间是-∞,l
2,单调递增区间是l
2,+∞,fx在x=l
2处取得极小值,极小值为fl
2=el
2-2l
2+2a=21-l
2+a.2证明:设gx=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′x=ex-2x+2a,x∈R由1知当al
2-1时,g′x最小值为g′l
2=21-l
2+a0于是对任意x∈R,都有g′x0,所以gx在R内单调递增.于是当al
2-1时,对任意x∈0,+∞,都有gxg0.
f而g0=0,从而对任意x∈0,+∞,gx0即ex-x2+2ax-10,故exx2-2ax+14x2-718.已知函数fx=,x∈01.2-x1求fx的单调区间和值域;2设a≥1,函数gx=x3-3a2x-2a,x∈01.若对于任意x1∈01,总存在x0∈01,使得gx0=fx1成立,求a的取值范围.解析1对函数fx求导,得-4x2+16x-72x-12x-7f′x==-2-x22-x217令f′x=0解得x=或x=22当x变化时,f′x,fx的变化情况如下表:xf′xfx-r