设等比数列的前项和为，已知，且
成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和．
【答案】（1）或
；（2）或
【解析】（1）设等比数列公比为由

，
，
或

当时，
，
当时，

（2）


，
当时，

当
时，


f得

所以，

2．已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数
的图象上，的横坐标为，
的横坐标为，直线的斜率为若，，则数列的前项和__________．
【答案】
【解析】由题意可知：，
，，
，
，
，
，
，
∴
，解得
，
∴
，
∴
∴
①②得
①②
，
所以
，
整理得
．
故答案为：
考向三奇偶并项求和
【例3】已知正项数列的前
项和为，，
，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）记
，求数列的前
项和R
；
（3）记
，求数列的前2
项和．
【答案】（1）见解析；2
；（3）
【解析】（1）证明：正项数列a
的前
项和为，，
∴
，相减可得：，
，．
f化为（）（

∵
，∴
，
时，
，
，，解得，
满足上式．即
，．
数列为等差数列，首项为1，公差为1．
（2）解：由（1）可得：
．
．
数列的前项和
．
（3）解：
．．
数列的前项和
．
【举一反三】
1．已知数列a
中，a1m，且a
13a
2
1b
a

N
（1）判断数列b
是否为等比数列，并说明理由；
（2）当m2时，求数列1
a
的前2020项和S2020
【答案】（1）①
x0

1时，不是等比数列；②m1时，是等比数列；（2）
32021
40434

【解析】（1）a
13a
2
1，
b
1a
1
13a
2
1
13a
3b
，∴①当x01时，b10，故数列b
不是等比数列；
②当m1时，数列b
是等比数列，其首项为b1m10，公比为3
（2）由1且当m1时有：b
a
33
13
，即a
3
，
1
a
3
1
，
S2020

313202013
1
2

3
4

2019

2020
f3320211010320214043
4
4
4．已知数列的前项和
，的最小值为．
（1）确定的值，并求数列的通项公式；
（2）设
，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由已知得

因为，当
k时，
故；所以

因为
，
所以
得

当时，
综上，
（2）依题意，
所以
．
，
，

考向四分组求和【例4r