】已知数列a
的前
项和为S
，且1，a
，S
成等差数列1求数列a
的通项公式；2若数列b
满足a
b
＝1＋2
a
，求数列b
的前
项和T
【答案】（1）a
＝2
－1（2）T
＝
2＋
＋2－2
1－1【解析】1由已知1，a
，S
成等差数列得2a
＝1＋S
，①当
＝1时，2a1＝1＋S1＝1＋a1，∴a1＝1，当
≥2时，2a
－1＝1＋S
－1，②①－②得2a
－2a
－1＝a
，∴a
＝2a
－1
≥2，且a1＝1∴数列a
是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a
＝a1q
－1＝12
－1＝2
－1
f2由a
b
＝1＋2
a
得b
＝a1
＋2
，∴T
＝b1＋b2＋…＋b
＝a11＋2＋a12＋4＋…＋a1
＋2
＝a11＋a12＋…＋a1
＋2＋4＋…＋2
＝11－121
＋（2＋22
）
＝
2＋
＋2－2
1－1
1－2【套路总结】解题思路：第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；
第二步巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；第三步分别求和：即分别求出各个数列的和；第四步组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和
【举一反三】1已知数列a
满足a
＋1＋a
＝4
－3
∈N．1若数列a
是等差数列，求a1的值；2当a1＝2时，求数列a
的前
项和S
【答案】见解析【解析】1若数列a
是等差数列，则a
＝a1＋
－1d，a
＋1＝a1＋
d由a
＋1＋a
＝4
－3，得a1＋
d＋a1＋
－1d＝4
－3，即2d＝42a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－122由a
＋1＋a
＝4
－3
∈N，得a
＋2＋a
＋1＝4
＋1
∈N．两式相减得a
＋2－a
＝4，所以数列a2
－1是首项为a1，公差为4的等差数列，数列a2
是首项为a2，公差为4的等差数列．
f由a2＋a1＝1，a1＝2，得a2＝－1，
所以a
＝22
，－
5为，奇
为数偶，数①当
为奇数时，a
＝2
，a
＋1＝2
－3S
＝a1＋a2＋a3＋…＋a
＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a
－2＋a
－1＋a
＝1＋9＋…＋4
－11＋2
＝
－21×12＋4
－11＋2
＝2
2－23
＋5②当
为偶数时，S
＝a1＋a2＋a3＋…＋a
＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a
－1＋a
＝1＋9＋…＋4
－7＝2
2－23
2
2－23
＋5，
为奇数，所以S
＝2
2－23
，
为偶数
2已知等差数列a
的前
项和为S
，且满足S4＝24，S7＝63
1求数列a
的通项公式；
2若b
＝2a
＋－1
a
，求数列b
的前
项和T

【答案】（1）a
＝2
＋1
8（4
3－1）＋
（2）T
＝8（4
3－1）－
－2
（
为偶数），（
为奇数）
【解析】1∵a
为等差数列，
∴S4＝4a1＋4×23d＝24，解得a1＝3，
S7＝7a1＋7×26d＝63，
d＝2
因此a
的通项公式a
＝2
＋1
2∵b
＝2a
＋r