AM2AC2
22
2
2
6
A
P
C
si
MCAAM21

MC63
si

OCP

si


MCA

cos
MCA

11
6
2
33
在RtOPC中，si
OCPOPOP2623
2
33
HQOP23又MH1C1O2
3
2
2
f在RtNQH中，NQNH2HQ21411，…………12分236
si
NQHNHNQ
2233…………13分1111
6
所求二面角NMCA的正弦值为33……ks5u…14分11
19．（本小题满分14分
解：（1）由题意可设椭圆方程为x2a2

y2b2
1a
b
0，……………1分
c
则

a

32
，……………3分
2a2

12b2
1

解的
ab
2
，……………5分
1
所以，椭圆方程为x2y21．4
……………6分
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，
故可设直线的方程为ykxmm0，Px1y1Qx2y2，……………7分
ykxm
由

x2
4

y2
1
消去y得14k2x28kmx4m210，……………8分
则64k2b21614k2b2b21164k2m210，
且
x1
x2

8km14k2
，
x1x2

4m2114k2
．……………9
分
故y1y2kx1mkx2mk2x1x2kmx1x2m2．
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
所以，
y2x2
y1x1

k2x1x2kmx1x2m2x1x2

k
2
，即
8k2m214k2
m2
0，……………10分
又m0，所以k21，即k1．……………11分
4
2
f由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0m22且m21．
设d为点O到直线的距离，则
SOPQ1dPQ1mx1x2m22m2，…………12分
2
2
所以SOPQ的取值范围为01．………………14分
20本小题满分1４分
1证：由题意fa
2
122
，即logam
2
，
a
m2
……2分
b
a
fa
2
m2
，
……1分
当m2时，b
a
fa
1
1
2
2
…………3分
∴S
110211312
1
1，
①
2
2
2
2
1S
111212313
1

2
2
2
2
2
②……4分
①－②，得1S
101112131
1
1

22222
2
2

1
1


12







1


……6
分
11
2
2
∴S
21
14……7分2
2解：由1知，c
a
lga
2
m2
lgm，要使c
c
1对一切
N成立，
即
lgm
1m2lgm对一切
N成r