，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）解
A1
P
N
C1
B1
MC
f1证法一连接AB1AC1由题意知点MN分别为AB1和B1C1的中点
…………1分
MNAC1
…………3分
又MN平面A1ACC1AC1平面A1ACC1…………5分
MN平面A1ACC1
…………6分
证法二取A1B1中点P连MPNP而MN分别为AB1与B1C1的中点
MPA1A…………2分
MP平面A1ACC1AA1平面A1ACC1MP平面A1ACC1
同理可证NP平面A1ACC1
…………4分
又MPNPP平面MNP平面A1ACC1…………5
分
MN平面MNP，MN平面A1ACC1…………6
分
证法三向量法以点A为坐标原点分别以直线
PB1
ABACAA1为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系
M
z
A1N
Axyz如图所示于是A
A000B200M101N112
Bx
ABACABAA1ACAA1A
AB平面A1ACC1
向量AB200是平面A1ACC1的一个法向量…………2分
C1
Cy
MN011，ABMN2001010ABMN…………4分
又MN平面A1ACC1
…………5分
MN平面A1ACC1
………6分
2解法一以点A为坐标原点分别以直线
ABACAA1为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系Axyz如图所示
于
是
A0B0C0A1002B12002C10022M1010N1122…0
………8分
由1知MA1是平面MCA的一个法向量MA1101…………10分
设平面NMC的法向量为
xyzMN011MC121
f


MNMC

00

yz0x2y
z

0

yx

z3z


311
…………12分
设向量MA1和向量
的夹角为则
cosMA1

130111
4…………13分
MA1
12021232121222
二面角NMCA的的正弦值为1cos21833…………14分1111
解法二几何法如图将几何体补形成一个正方体连DC1、CD1交于点O连B1A、B1O
显然A、M、C、B1、D1、O都在同一平面ACB1D1上…………7分
易证B1OMCC1OCD1B1D1平面C1CDD1C1O平面C1CDD1
C1OB1D1又B1D1CD1D1C1O平面ACB1D1
A1N
C1
B1
D1
取B1O中点H连NHN、H分别是B1OB1C1的中点
H
M
O
Q
P
NHC1O
A
NH平面ACB1D1…………9分
B
且H为垂足即NH平面AMC过点O作OPMC于PB1
过H作HQOP交MC于Q连NQ
C
D
D1H
M
则NQH即是所求二面角NMCA的补角…………11分
O
Q
在RtMAC中CMr