，2Lλ
。
222
3－27设A∈C相同。证明：1）（
m×

，试证：（1）AA和AA都是半正定的Hermite矩阵；（2）AA和AA的非零特征值
A∈Cm×
，则AAAAAAAAAAAA，x∈C
，
xAAxxAAxAxAx≥0xAAxxAAxAxAx≥0；所以AA和AA
都是半正定的Hermite矩阵。
3
f（2）令S
0EmAAA0EmAAAAAA00S，SAAAA0E
E
A0AA0AAAAA0AA000EASS，则又因为Sm为可逆矩阵，则AAAAAAAA0E
AA0101AA01AA000SSSSSAAAAAAS则detλEAA0与A0A0detλEAA0有相同的非零解
r
EmAAA则E
A
（1）若A0（r是自然数），则A0；（2）若AA，则AA；3－28设A是正规矩阵。试证：322（3）若AA，则AA。
2证明：因为A是正规矩阵，所以AAAA，则存在U∈U
×

使UAUdiagλ1λ2λ
，

其中λ1λ2λ
为A的特征值；AUdiagλ1λ2λ
U
r


（1）AUdiagλ1λ2λ
UUdiagλ1λ2λ
UUUdiagλ1λ2λ
U0
rrr

rdiagλ1λrλr
r0λ1λ2λ
02
AUdiagλ1λ2λ
U0
2AUdiagλ1λ2λ
UAUdiagλ1λ2λ
U
22222λ1λ1λ2λ2λ2λ
2

λi0或1i12
即A的特征值都为实数
322
（3）同理λ1λ1，λ2λ2，λ
λ
λi0或1λiλi
3232
又A为正规矩阵AA
222

即Udiagλ1λ2λ
UUdiagλ1λ2λ
U即AA
2
3－30设A∈C，那么A可以唯一的写成ASiT，其中ST为Hermite矩阵，且A可以唯一的写成ABC，其中B是Hermite矩阵，C是反Hermite矩阵。证：令S

×

AAAATi，且ASiTSSTT。22
下证唯一性：用反证法。假设存在S1T1S2T2使AS1iT1S2iT2且S1T1S2T2r