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均为Hermite矩阵。则由:AS1iT1AS1iT1S1iT1S1同理有:S2
AAAAT1i22
可知:A可唯一的写成ASiT。
AAAAT2iS1S2,T1T222
令BS,CiT,则显然B为Hermite矩阵,C为反Hermite矩阵则A可唯一写成ABC其中B
AAAACi毕。22
补充题:补充题:31试证:向量长度的齐次性,即kαk
T
α,k∈C,α∈C

T
解:令αa1a2a
,则kαka1ka2ka

∴kα
∑kai
i1


2

∑k2ai
i1


2
k
2
∑a
i1
2


2
i

2
32试证:在任意酉空间V中成立广义商高定理:证明:α,β∈Vαβ0αβ
α
β,ααα,βββ
4
fQαβαβαβ
∴αβ
2
2
αβαβαααββαββ
2
ααββQαβ0
α#33令α11111α23311α32068。求spa
1α2α3的一个标准正交基。
TTT
αβ
解:由斯密特正交化公式可得:
β1α11111T,β2α2
α2β1β12222T,β1β1
βα3
α3β2αββ231β11111Tβ2β2β1β1
单位化:γ1
ββ1β111111111111T,γ22T,γ33Tβ12222β22222β32222γ1γ2γ3就是spa
α1α2α3的一个标准正交基。
11
#34试证下列矩阵是酉矩阵
0220i011(2)00i022i0000111110022221111证明:(1)令A0A02222000101经计算,显然有AAAAE即证该矩阵是酉矩阵。0i000i(2)令BB00iBi00i000i0经计算,显然有BBBBE即证该矩阵是酉矩阵。
35用数学归纳法证明下列结论:(1)对于任意正整数
成立135L2
1
2;(2)对于任意正整数k成立α1Lαk∈∨&(αi,αj)0,i≠j
(1)
α1Lαk
2
α1
2
Lαk。
2
证明:(i)当k1时,左边右边1。结论成立;当
k1时,左边135L2k11k22k1k12右边所以,当
k1时,结论也成立。命题得证。(ii)当k1时,假设
k时(k为任意的整r
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