A∈U，则AE。
×
证明：由A∈UAAE，A∈H
×
AA，所以A2E，由题3－14可知，A的特征值
2
f为
λi1又A是正定的，所以A的特征值全部为1，则存在U∈U
×
UAUE所以可得
AUEUE即证。
（1）两个半正定Hermite矩阵之和是半正定的；（2）半正定Hermite矩阵与正定Hermite矩3－20试证：阵之和是正定的。证明：（1）令A，B为半正定Hermite矩阵，则存在x∈C，使得xAx≥0xBx≥0又由Hermite矩



阵的简单性质，AB为Hermite矩阵，且存在x∈C，使得xABxxAxxBx≥0；AB则为半正定Hermite矩阵。

（2）令A为半正定Hermite矩阵，B为正定Hermite矩阵，则有x∈C，使得xAx≥0xBx0又由



Hermite矩阵的简单性质，AB为Hermite矩阵，且存在x∈C，使得xABxxAxxBx0；

则AB为正定Hermite矩阵。322设A，B是
阶正规矩阵试证：A与B相似的充要条件是A与B酉相似。证明：充公条件：因为A，B是
阶正规矩阵，则存在U

∈U
×
V∈U

×

使得
UAUdiagλ1λ2Lλ
VBVdiag12L
，其中λ1λ2Lλ
；12L
分别是
A与B的特征值。又因为A与B相似，所以其对应的特征值相同。则有UAUVBVV1UAUV1B。W令则W也是酉矩阵。所以A与B酉相似。必要条件：因为A与B酉相似，则U
H
UV1，则WAWB，因为U、V是酉矩阵，
∈U
×
使得UAUB，
×
则UUEUU1UAUU1AUB，A与B相似。又由于U∈U因而
323设AA，试证总存在t0，使得AtE是正定Hermite矩阵，AtE是负定Hermite矩阵。证明：
（1）AHAQ
（2）AHAQ
λ∴A的特征值（A）R∈λλ又AtE的特征值（AtE）＝（A）＋t
∴总t0使得λmi
（A）＋t0
H又有（AtE）＝AHtE＝AtE
λ∴A的特征值（A）R∈λλ又A－tE的特征值（A－tE）＝（A）－t
∴总t0使得λmi
（A）－t0
H又有（AtE）＝AHtE＝AtE
∴总t0使得AtE为正定Hermite矩阵
QA为
阶正规矩阵∴U∈U
　，使得UAU＝diag（λ1，λ2Lλ
）∴AUdiag（λ1，λ2Lλ
）UH
∴总t0使得AtE为负定Hermite矩阵
H222
326设A为
阶正规矩阵，λ1，λ2，…λ
为A的特征值，试证：AA的特征值为λ1，λ2，…λ
。证明：
λAH＝Udiag（λ1，2Lλ
）UHλ∴AHAUdiag（λ1，λ2Lλ
）UHUdiag（λ1，2Lλ
）UHλ＝Udiag（λ1，2Lλ
）UH
222Hλ∴U（AHA）U＝diag（λ1，2Lλ
）222
λ即AHA的特征值为λ1r