条件是A与B的特征值相同。证明：（1）必要性：因为A，B是正规矩阵，所以存在U1∈U

×

使得U1AU1

×

diagλ1λ2Lλ
，存在U2∈U
×
使得U2BU2diagλ1λ2Lλ
又因为A酉相似于B，所以存
在U∈U

×

，使得BUAU所以U2BU2U2UAUU2UU2AUU2又因为U∈U

U2∈U
×
，所以UU2∈U
×
U2BU2diagλ1λ2Lλ
可记为：λ1λ1λ2λ2Lλ
λ
即
A与B特征值相同。（2）充分性：存在U1∈U

×

使得U1AU1diagλ1λ2Lλ
，存在U2∈U

×

使得

U2BU2diagλ1λ2Lλ
BU21diagλ1λ2Lλ
U21U21U1AU1U21U1U21AU1U21因为U1∈U
×
U21∈U
×
所以U1U21∈U
×
即A酉相似于B。
313设A是Hermite矩阵，且AA，则存在酉矩阵U，使得UAU
2

Er000
证明：A是Hermite矩阵，则存在U∈U
m×m
，使得U1AUdiag（λ1，λ2，……λ
）则A
λ1λ1λ2λ21HU1由A2A可得A2U1HU1UOOλ
λ
λ1λ1λ2λ21H2U1U1HU1Uλ1λ1，……，λ2λ
OOλ
λ
Er0从而可知0，1是A的特征值取σA11L100L0，得出U1AU1，题目得证。00







2314设A是Hermite矩阵，且AE，则存在酉矩阵U，使得UAU
Er0。0E
r
证明：A是Hermite矩阵，则存在U∈U
m×m
，使得U
1
AUdiagλ1λ2Lλ
A2
，即有UAU题目得证。316设A，B均是Hermite矩阵，且A正定，试证：AB与BA的特征值都是实数。证明：令PA12，显然P为Hermite矩阵而且正定唯一，A正定A的特征值全大于0。所以A可逆，P可逆ABA12ABA12A12BA12A12BAA12；所以AB与BA相似ABBA，则AB与BA的特征值相同λ（AB）λ（BA）（A，
12BA12）A12BA12，A12BA12也为H矩阵A12BA12的特征值
2λ12Oλrλ2λ2Lλ21，则1和1为A的特征值，可记λ1λ2Lλr1，2
UUE则1Oλ2
ErHE
rλr1Lλ
1
为实数，ABA12BA12BA，所以AB，BA的特征值都是实数
×
319设A是正定Hermite矩阵，且r