听课随笔
第10课时基本不等式的证明1
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算术平均数和几何平均数内容及证法
基本不等式
几何解释
变形及证明其它不等式
学习要求
1理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系2探究并了解基本不等式的证明过程会用多种方法证明基本不等式3理解基本不等式的意义并掌握基本不等式中取等号的条件是当且仅当这两个数相等【课堂互动】点评：１．不等式证明的方法：1作差比较法2分析法3综合法２．本题对a≥0b≥０时仍成立，且题中等号当且仅当ab时成立．３．把不等式
自学评价
１．算术平均数：见书２．几何平均数见书３．设a≥0b≥0则为
ab与ab的关系2
ab2
aba≥0b≥0
≥
４．基本不等式的证明方法：比较法分析法，综合法．【精典范例】例1．设a、b为正数求证明：
称为基本不等式4由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等5基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．例2利用基本不等式证明下列不等式：1已知a0求证a
ab2
ab
12a
见书（共有三个方法）．
2已知abc∈R求证a2b2c2≥abbcac3已知xyz是互不相等的正数且xyz1求证
1111118xyz
f不等式证明的基本方法．２．基本不等式的推广：
个
1非负数的几何平均数不大于它们的算术平均证明：因为题目简单，证略．数．即若

听课随笔
ai≥0i12…
则
a1a2鬃祝a

a1a2鬃a
1

N
追踪训练
１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．（１）２与８答案：５，４（２）３与１２答案：７５，6（３）Ｐ与９Ｐ答案：５p，3p（４）２与２p
2
答案：p21，2p
２．已知a1求证a
1≥3a1
略证．
３．已知abc1求证a2b2c2≥点评：1基本不等式的变形公式：1ab澄2abab
22
13
提示：只要证3a2b2c2）≥1即可．
R
R
４．已知abc不全相等的三个正数且abc1求证
a2b2ab2abＮ2
3ab澄2abab4abＮ
111abcabc
R
R
ab2ab2
注意：利用基本不等式证明时要交代等号为何不能成立．
2学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．３．注意严格不等式的证明方法．学生质疑【师生互动】
思维点拔：
1上面两例在于：1揭示基本不等式的内容与证法．2举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以r