（山东文）22．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C

x2

y2
．如图所示，斜率为kk＞01
3
且不过原点直线交椭圆C于A，B两点，线段AB
中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线
x3于点D3m．
（Ⅰ）求m2k2最小值；（Ⅱ）若OG2ODOE，
（i）求证：直线过定点；
（ii）试问点B，G能否关于轴对称？若能，求出此时ABG外接圆方程；若
不能，请说明理由．
【解析】22．（I）解：设直线l的方程为ykxtk0，
由题意，t0
由方程组ykxt得

x23

y2
1
3k21x26ktx3t230，
由题意0，
所以3k21t2
设Ax1y1Bx2y2，
由韦达定理得
x1

x2


6kt3k2
1

所以
y1

y2

2t3k2
1

由于
E
为线段
AB
中点，因此
xE

3kt3k2
1

yE

3k
t
2

1

f此时
kOE

yExE

13k
所以OE所在直线方程为

y
13k
x
又由题设知D（3，m），令x3，得m1，即mk1，k
所以m2k22mk2当且仅当mk1时上式等号成立，
此时由0得0t2因此当mk1且0t2时，
m2k2取最小值2
（II）（i）由（I）知OD所在直线方程为
y
1
x
3k
将其代入椭圆C方程，并由k0
解得
G
3k3k21
13k2
1

，又
E
3k3k21

3k
t
2
1
D3
1k

，
由距离公式及t0得
OG2
3k23k21
13k2
21

9k23k2
11
OD32129k21
k
k
OE

3kt3k2
1
2


3k
t
2

21

t
9k3k2
211

由OG2ODOE得tk
因此，直线l方程为ykx1
所以，直线l恒过定点10
（ii）由（i）得
3k
1
G


3k213k21
若B，G关于x轴对称，
则
3k
1
B


3k213k21
代入ykx1整理得3k21k3k21
f即6k47k210，
解得k21（舍去）或k216
所以k1，
此时B31G31关于x轴对称
22
22
又由（I）得x10y11所以A（0，1）
由于ABG外接圆圆心在x轴上，可设ABG外接圆圆心为（d，0），
因此
d2
1
d

32

1
解得d


1

24
2
故ABG外接圆半径为r
d21
5，
2
所以
ABG
外接圆方程为
x

12

y2

5
2
4
8（陕西文）17．（本小题满分12分）
设椭圆C
x2a2

y2b2
1a
b

0过点（0，4），离心率为3
5
r